Exercice 8

1. Une donne est une suite $(N, S, E, O)$ de quatre parties à $13$ éléments du jeu, deux à deux disjointes. On choisit la main de Nord parmi les $52$ cartes, puis celle de Sud parmi les $39$ restantes, puis celle d'Est parmi les $26$ restantes, et Ouest reçoit les $13$ dernières ; le nombre de choix à chaque étape ne dépend pas des choix précédents. $$\boxed{\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13} = \frac{52!}{(13!)^{4}} \approx 5{,}36 \cdot 10^{28} \text{ donnes}}$$ C'est le nombre d'anagrammes d'un mot formé de treize lettres N, treize S, treize E et treize O (exercice 3) : on écrit, sous chacune des $52$ cartes rangées dans un ordre fixé, l'initiale du joueur qui la reçoit.

2. Si chaque joueur n'a que des cartes d'une couleur, il a les treize cartes de cette couleur, et les quatre joueurs ont des couleurs deux à deux distinctes. Une telle donne est donc déterminée par une bijection de l'ensemble des joueurs sur l'ensemble des couleurs, et réciproquement toute bijection en fournit une. $$\boxed{4! = 24 \text{ donnes}}$$

3. Disons qu'un joueur est unicolore s'il n'a que des cartes d'une couleur ; il possède alors toute cette couleur. Pour une donne où exactement deux joueurs sont unicolores, on choisit ces deux joueurs, de $\binom{4}{2} = 6$ façons, puis leurs couleurs, distinctes, de $4 \times 3 = 12$ façons. Il reste $26$ cartes, de deux couleurs, à partager en deux mains de $13$ entre les deux autres joueurs, de $\binom{26}{13}$ façons, dont exactement deux rendent ces joueurs unicolores : celles où l'un reçoit la première couleur entière et l'autre la seconde. $$\boxed{6 \times 12 \times \bigg(\binom{26}{13} - 2\bigg) = 748\,843\,056 \text{ donnes}}$$

4. Notons $\mathcal{N}$ l'ensemble des donnes où Nord et Sud sont tous deux unicolores, et $\mathcal{E}$ celui où Est et Ouest le sont. Comme à la question 3, $|\mathcal{N}| = 12\binom{26}{13}$ : on choisit les couleurs de Nord et de Sud, puis la main d'Est parmi les $26$ cartes restantes, sans contrainte. De même $|\mathcal{E}| = 12\binom{26}{13}$, et $\mathcal{N} \cap \mathcal{E}$ est l'ensemble des $24$ donnes de la question 2. La proposition 2 (iii) donne $$\boxed{|\mathcal{N} \cup \mathcal{E}| = 2 \times 12\binom{26}{13} - 24 = 249\,614\,376 \text{ donnes}}$$ Ces formules ont été contrôlées par une énumération exhaustive sur un jeu réduit de quatre couleurs de $2$ ou de $3$ cartes, distribuées à quatre joueurs. Pour des couleurs de $2$ cartes, par exemple, on trouve $2\,520$ donnes, dont $24$, $288$ et $120$ satisfont les conditions des questions 2, 3 et 4, comme le prévoient les formules avec $\binom{4}{2} = 6$ au lieu de $\binom{26}{13}$.

Piège. L'erreur la plus répandue, à la question 4, est d'additionner $|\mathcal{N}|$ et $|\mathcal{E}|$ : les $24$ donnes entièrement unicolores sont comptées deux fois. À la question 3, c'est d'oublier de retirer les deux partages unicolores des $26$ dernières cartes, qui donneraient quatre joueurs unicolores et non deux.