Exercice 7

1. On compte le complémentaire : une main dont les cinq cartes ont des hauteurs deux à deux distinctes est déterminée par l'ensemble de ses cinq hauteurs, choisi parmi $8$, et par la couleur de chacune des cinq cartes, soit $4^{5}$ choix (proposition 3). $$\boxed{\binom{32}{5} - \binom{8}{5}4^{5} = 201\,376 - 57\,344 = 144\,032}$$ Pour la seconde question, on regroupe les cartes d'une main par hauteur : les effectifs des hauteurs présentes forment l'une des répartitions $1 + 1 + 1 + 1 + 1$, $2 + 1 + 1 + 1$, $2 + 2 + 1$, $3 + 1 + 1$, $3 + 2$ ou $4 + 1$. Une main contient deux paires de hauteurs différentes exactement pour les répartitions $2 + 2 + 1$ et $3 + 2$.

• Répartition $2 + 2 + 1$ : on choisit l'ensemble des deux hauteurs des paires, de $\binom{8}{2}$ façons, deux cartes de chacune, de $\binom{4}{2}^{2}$ façons, puis la cinquième carte parmi les $32 - 8 = 24$ cartes des autres hauteurs, soit $28 \times 36 \times 24 = 24\,192$ mains.

• Répartition $3 + 2$ : ce sont les fulls, au nombre de $8 \times \binom{4}{3} \times 7 \times \binom{4}{2} = 1\,344$ (exemple de la section 21.2.6).

$$\boxed{24\,192 + 1\,344 = 25\,536}$$ Piège. Pour les deux paires, l'erreur la plus répandue est de choisir « la hauteur de la première paire, puis celle de la seconde », de $8 \times 7$ façons : les deux paires jouent le même rôle, et chaque main est alors comptée deux fois. Pour un full, au contraire, le brelan et la paire jouent des rôles différents, et le produit $8 \times 7$ est juste.

2. Il y a $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$ mains. On numérote les hauteurs de $1$ (as) à $13$ (roi). Les quintes ont pour ensembles de hauteurs les dix ensembles $\{h, h + 1, \dots, h + 4\}$ pour $h \in \llbracket 1\,,9 \rrbracket$, et $\{10, 11, 12, 13, 1\}$.

(a) Une quinte flush est déterminée par sa suite de hauteurs, parmi $10$, et sa couleur, parmi $4$ : $$\boxed{10 \times 4 = 40 \text{ quintes flush}}$$

(b) Un carré est déterminé par la hauteur des quatre cartes, parmi $13$, et la cinquième carte, parmi $48$ : $$\boxed{13 \times 48 = 624 \text{ carrés}}$$

(c) On choisit la hauteur du brelan et ses trois cartes, puis la hauteur de la paire, différente, et ses deux cartes : $$\boxed{13\binom{4}{3} \times 12\binom{4}{2} = 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3\,744 \text{ fulls}}$$

(d) Une quinte est déterminée par sa suite de hauteurs et par la couleur de chacune des cinq cartes, soit $10 \times 4^{5}$ mains, dont $40$ quintes flush : $$\boxed{10\big(4^{5} - 4\big) = 10\,200 \text{ quintes qui ne sont pas des quintes flush}}$$

(e) On choisit la hauteur du brelan, ses trois cartes, puis l'ensemble des deux autres hauteurs, de $\binom{12}{2}$ façons, et une carte de chacune : $$\boxed{13 \times 4 \times \binom{12}{2} \times 4^{2} = 54\,912 \text{ brelans}}$$ Les cinq nombres ont été confirmés par une énumération exhaustive des $2\,598\,960$ mains. Rapportés au nombre total de mains, ils donnent la hiérarchie du poker : une quinte flush apparaît environ une fois sur $65\,000$ donnes, un carré une fois sur $4\,165$, un brelan une fois sur $47$ ; plus une combinaison est rare, plus elle est forte.