Exercice 6

Une main est une partie à cinq éléments du jeu de $32$ cartes ; il y en a $\binom{32}{5} = 201\,376$ (théorème 2). Pour chaque question, on découpe l'ensemble des mains à compter en morceaux disjoints, et l'on compte chaque morceau en choisissant séparément les cartes de chaque catégorie, ce que justifie la proposition 2 (iv). Dans le jeu, une couleur compte $8$ cartes, une hauteur $4$ cartes.

(a) Les mains de cinq cœurs et celles de cinq trèfles forment deux ensembles disjoints, de $\binom{8}{5}$ éléments chacun. $$\boxed{2\binom{8}{5} = 112}$$

(b) On choisit deux cœurs parmi huit, puis trois trèfles parmi huit. $$\boxed{\binom{8}{2}\binom{8}{3} = 28 \times 56 = 1\,568}$$

(c) On sépare les mains sans as, qui sont des parties à cinq éléments des $28$ cartes qui ne sont pas des as, et celles qui ont exactement un as, choisi de $4$ façons, avec quatre autres cartes prises parmi les $28$. $$\boxed{\binom{28}{5} + 4\binom{28}{4} = 98\,280 + 81\,900 = 180\,180}$$

(d) L'as de cœur est à la fois un as et un cœur : on distingue selon qu'il figure dans la main. On note qu'il y a $3$ as qui ne sont pas des cœurs, $7$ cœurs qui ne sont pas des as, et $32 - 4 - 7 = 21$ cartes qui ne sont ni l'un ni l'autre.

• Si l'as de cœur figure dans la main, il faut un autre as, parmi $3$, deux autres cœurs, parmi $7$, et une dernière carte, ni as ni cœur, parmi $21$ : $3 \times \binom{7}{2} \times 21 = 1\,323$ mains.

• Sinon, il faut deux as parmi $3$ et trois cœurs parmi $7$, ce qui fait déjà cinq cartes : $\binom{3}{2}\binom{7}{3} = 105$ mains.

(e) On procède de même avec l'as de carreau ; il y a $7$ carreaux qui ne sont pas des as et $21$ cartes qui ne sont ni des as ni des carreaux.

• Si l'as de carreau figure dans la main, c'est le seul as, et il faut au moins deux autres carreaux parmi les quatre autres cartes : $\sum_{j=2}^{4} \binom{7}{j}\binom{21}{4 - j} = 4\,410 + 735 + 35 = 5\,180$ mains.

• Sinon, on choisit l'as parmi les $3$ autres, puis au moins trois carreaux parmi les quatre autres cartes : $3\Big(\binom{7}{3} \times 21 + \binom{7}{4}\Big) = 3 \times 770 = 2\,310$ mains.

(f) Le roi de cœur est à la fois un roi et un cœur. Il y a $3$ autres rois, $7$ cœurs qui ne sont pas des rois, et $21$ cartes qui ne sont ni des rois ni des cœurs.

• Si le roi de cœur figure dans la main, aucun autre cœur n'est permis, et il faut au moins un autre roi : $\sum_{j=1}^{3} \binom{3}{j}\binom{21}{4 - j} = 3\,990 + 630 + 21 = 4\,641$ mains.

• Sinon, il faut $j \in \{2, 3\}$ rois parmi $3$ et $h \in \{0, 1\}$ cœur parmi $7$, le reste parmi $21$, soit $$\sum_{j=2}^{3}\,\sum_{h=0}^{1} \binom{3}{j}\binom{7}{h}\binom{21}{5 - j - h} = 3 \times 2\,800 + 357 = 8\,757 \text{ mains.}$$

$$\boxed{4\,641 + 8\,757 = 13\,398}$$ Une énumération exhaustive des $201\,376$ mains confirme les six résultats.

Piège. L'erreur la plus répandue, en (d), est de multiplier $\binom{4}{2}$ par $\binom{8}{3}$, en choisissant les as parmi les quatre et les cœurs parmi les huit : l'as de cœur peut alors être choisi deux fois, une fois comme as et une fois comme cœur, et l'on obtient des « mains » de quatre cartes, tandis que les vraies mains contenant l'as de cœur, qui ont une cinquième carte ni as ni cœur, sont oubliées. Le nombre $6 \times 56 = 336$ ainsi obtenu ne compte rien. Le découpage selon la carte « double » rend les catégories disjointes.