Exercice 91

On numérote les boules, et l'on prend pour univers l'ensemble des $(2n)!$ ordres de sortie, muni de la probabilité uniforme. L'ensemble $R$ des rangs de sortie des boules rouges est une partie à $n$ éléments de $\llbracket 1\,,2n \rrbracket$ ; chacune correspond à $n!\,n!$ ordres, donc $R$ suit la loi uniforme sur les parties à $n$ éléments de $\llbracket 1\,,2n \rrbracket$.

1. La dernière boule rouge sort au rang $\max R$, et il reste alors $X = 2n - \max R$ boules noires. Pour $k \in \llbracket 0\,,n \rrbracket$, $(X = k)$ est réalisé si et seulement si la boule de rang $2n - k$ est rouge et les $n - 1$ autres rouges ont des rangs dans $\llbracket 1\,,2n - k - 1 \rrbracket$, d'où $$\boxed{\mathrm{P}(X = k) = \frac{\binom{2n - k - 1}{n - 1}}{\binom{2n}{n}}, \qquad k \in \llbracket 0\,,n \rrbracket}$$ C'est l'exercice 90 avec $r = n$ et $2n$ au lieu de $n$, appliqué à $\max R = 2n - X$.

2. Pour chaque boule noire $b$, soit $B_{b}$ l'événement « $b$ sort après toutes les boules rouges ». Alors $X = \sum_{b} \mathbf{1}_{B_{b}}$, somme de $n$ indicatrices. Considérons les $n + 1$ boules formées des rouges et de $b$. Pour une boule rouge $\rho$, l'échange des rangs de $b$ et de $\rho$ est une bijection de l'univers, qui préserve la probabilité uniforme et transforme $B_{b}$ en l'événement « $\rho$ sort après les autres boules de ce groupe ». Ces $n + 1$ événements, un par boule du groupe, forment un système complet et ont la même probabilité, comme dans l'exemple des records de la section 21.6.3 : $$\mathrm{P}(B_{b}) = \frac{1}{n + 1}, \qquad \boxed{\mathrm{E}(X) = \frac{n}{n + 1}}$$ Il reste en moyenne moins d'une boule noire dans l'urne, quel que soit $n$. On retrouve ce résultat avec l'exercice 90 : $\mathrm{E}(X) = 2n - \frac{n(2n + 1)}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ ✓.

3. Soit $b \neq b'$ deux boules noires. L'événement $B_{b} \cap B_{b'}$ est réalisé si et seulement si, parmi les $n + 2$ boules formées des rouges, de $b$ et de $b'$, les deux dernières à sortir sont $b$ et $b'$. Le même argument d'échange montre que la paire des deux dernières boules de ce groupe est uniforme parmi les $\tbinom{n + 2}{2}$ paires possibles : $\mathrm{P}(B_{b} \cap B_{b'}) = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)}$, et $$\operatorname{Cov}(\mathbf{1}_{B_{b}}, \mathbf{1}_{B_{b'}}) = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{n}{(n + 1)^{2}(n + 2)}.$$ Par le théorème 13, avec $n$ variances $\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n}{n + 1}$ et $n(n - 1)$ covariances, $$\mathrm{V}(X) = \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} + \frac{n^{2}(n - 1)}{(n + 1)^{2}(n + 2)}, \qquad \boxed{\mathrm{V}(X) = \frac{n^{2}(2n + 1)}{(n + 1)^{2}(n + 2)}}$$ ce qui coïncide avec la variance de l'exercice 90 pour $r = n$ et $2n$ boules ✓. La loi, l'espérance et la variance ont été vérifiées par énumération pour $n \leqslant 5$, et $\mathrm{P}(B_{b} \cap B_{b'})$ sur les $720$ ordres de sortie pour $n = 3$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\mathrm{E}(X) \to 1$ et $\mathrm{V}(X) \to 2$.

Piège. Les événements $B_{b}$ ne sont pas indépendants, et leurs covariances sont positives : si une boule noire sort après toutes les rouges, c'est que la dernière rouge est sortie tôt, ce qui favorise les autres noires. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\mathrm{V}(X) = n\frac{1}{n + 1}\big(1 - \frac{1}{n + 1}\big)$, comme pour une loi binomiale.