Exercice 90

L'univers est l'ensemble des parties à $r$ éléments de $\llbracket 1\,,n \rrbracket$, muni de la probabilité uniforme. Pour le paquet de cartes, chaque ensemble de $r$ premières cartes correspond à $r!\,(n - r)!$ ordres du paquet, le même nombre pour tous (lemme des bergers) : l'ensemble des $r$ premières cartes suit bien la loi uniforme sur les parties à $r$ éléments, et les deux descriptions donnent la même loi pour $X$.

1. La variable $X$ prend ses valeurs dans $\llbracket r\,,n \rrbracket$. Pour $k \in \llbracket r\,,n \rrbracket$, une partie $Y$ vérifie $\max Y = k$ si et seulement si $k \in Y$ et $Y \setminus \{k\}$ est une partie à $r - 1$ éléments de $\llbracket 1\,,k - 1 \rrbracket$ ; l'application $Y \mapsto Y \setminus \{k\}$ est une bijection entre ces parties et celles à $r - 1$ éléments de $\llbracket 1\,,k - 1 \rrbracket$ : $$\boxed{\mathrm{P}(X = k) = \frac{\binom{k - 1}{r - 1}}{\binom{n}{r}}, \qquad k \in \llbracket r\,,n \rrbracket}$$ La somme de ces probabilités vaut $1$ (proposition 11), d'où l'identité $$\boxed{\sum_{k=r}^{n} \binom{k - 1}{r - 1} = \binom{n}{r}}$$ C'est la formule de la crosse de hockey de l'exercice 35 de la feuille du chapitre 3, $\sum_{k=p}^{N} \tbinom{k}{p} = \tbinom{N + 1}{p + 1}$, avec $p = r - 1$ et $N = n - 1$. Le chapitre 3 l'obtenait par télescopage de la formule de Pascal (proposition 10) ; elle est ici démontrée en comptant les parties à $r$ éléments selon leur plus grand élément.

2. Avec l'égalité suggérée, qui est la formule du pion, puis la crosse de hockey avec $p = r$ et $N = n$, $$\mathrm{E}(X) = \frac{1}{\binom{n}{r}}\sum_{k=r}^{n} k\binom{k - 1}{r - 1} = \frac{r}{\binom{n}{r}}\sum_{k=r}^{n} \binom{k}{r} = r\,\frac{\binom{n + 1}{r + 1}}{\binom{n}{r}}, \qquad \boxed{\mathrm{E}(X) = \frac{r(n + 1)}{r + 1}}$$ Pour $r = 1$, on retrouve l'espérance $\frac{n + 1}{2}$ de la loi uniforme, et pour $r = n$, $\mathrm{E}(X) = n$. Tout se passe comme si les $r$ nombres choisis découpaient $\llbracket 0\,,n + 1 \rrbracket$ en $r + 1$ intervalles de même longueur moyenne $\frac{n + 1}{r + 1}$ : le maximum se trouve en moyenne à une telle longueur de $n + 1$, puisque $\mathrm{E}(X) = (n + 1) - \frac{n + 1}{r + 1}$.

3. On calcule $\mathrm{E}\big(X(X + 1)\big)$. Par la formule du pion, appliquée deux fois, $$k(k + 1)\binom{k - 1}{r - 1} = r(k + 1)\binom{k}{r} = r(r + 1)\binom{k + 1}{r + 1},$$ et par la crosse de hockey, $$\mathrm{E}\big(X(X + 1)\big) = \frac{r(r + 1)}{\binom{n}{r}}\sum_{k=r}^{n} \binom{k + 1}{r + 1} = r(r + 1)\frac{\binom{n + 2}{r + 2}}{\binom{n}{r}} = \frac{r(n + 1)(n + 2)}{r + 2}.$$ Par la formule de König-Huygens, $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}\big(X(X + 1)\big) - \mathrm{E}(X) - \mathrm{E}(X)^{2}$, et une réduction au même dénominateur donne $$\boxed{\mathrm{V}(X) = \frac{r(n - r)(n + 1)}{(r + 1)^{2}(r + 2)}}$$ Pour $r = 1$, on retrouve la variance $\frac{n^{2} - 1}{12}$ de la loi uniforme (proposition 21), et pour $r = n$, $\mathrm{V}(X) = 0$. La loi, l'espérance et la variance ont été vérifiées par énumération pour $n \leqslant 8$ et tous les $r$, ainsi que l'équivalence avec la version des cartes pour $n \leqslant 5$ ✓.

À retenir. Pour une variable dont la loi s'écrit avec $\tbinom{k - 1}{r - 1}$, on calcule les espérances de $X$, de $X(X + 1)$, …, dont les coefficients se simplifient par la formule du pion, plutôt que $\mathrm{E}(X^{2})$ ; c'est la démarche de la proposition 21 pour la loi binomiale, avec $\mathrm{E}\big(X(X - 1)\big)$.