Exercice 32

1. Pour $n = 2$, la proposition 7 (iv) et $\mathrm{P}(A_{1} \cup A_{2}) \leqslant 1$ donnent $$\mathrm{P}(A_{1} \cap A_{2}) = \mathrm{P}(A_{1}) + \mathrm{P}(A_{2}) - \mathrm{P}(A_{1} \cup A_{2}) \geqslant \mathrm{P}(A_{1}) + \mathrm{P}(A_{2}) - 1.$$ Supposons l'inégalité vraie pour $n$ événements quelconques, et soit $A_{1}$, …, $A_{n+1}$. On applique le cas $n = 2$ aux deux événements $B = A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}$ et $A_{n+1}$, puis l'hypothèse de récurrence à $B$ : $$\mathrm{P}(B \cap A_{n+1}) \geqslant \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(A_{n+1}) - 1 \geqslant \sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}(A_{i}) - (n - 1) + \mathrm{P}(A_{n+1}) - 1.$$

$$\boxed{\mathrm{P}(A_{1} \cap \cdots \cap A_{n}) \geqslant \mathrm{P}(A_{1}) + \cdots + \mathrm{P}(A_{n}) - (n - 1)}$$ C'est la sous-additivité appliquée aux contraires : $\mathrm{P}\big(\overline{A_{1}} \cup \cdots \cup \overline{A_{n}}\big) \leqslant \sum \big(1 - \mathrm{P}(A_{i})\big)$. Elle sert lorsque les $\mathrm{P}(A_{i})$ sont proches de $1$ : si chacun de $10$ composants fonctionne avec la probabilité $0{,}99$, tous fonctionnent avec une probabilité au moins $0{,}9$, sans aucune hypothèse d'indépendance.

2. (a) Soit $m$ le nombre d'indices $i$ tels que $\omega \in A_{i}$. La première somme vaut $m$, et la seconde compte les paires $\{i, j\}$ d'indices tels que $\omega \in A_{i} \cap A_{j}$, c'est-à-dire les paires d'indices parmi les $m$ précédents : elle vaut $\binom{m}{2}$. Le second membre vaut $0$ si $m = 0$ et $1$ si $m \geqslant 1$. Pour $m = 0$, les deux membres sont nuls. Pour $m \geqslant 1$, $$1 - \Big(m - \frac{m(m - 1)}{2}\Big) = \frac{m^{2} - 3m + 2}{2} = \frac{(m - 1)(m - 2)}{2} \geqslant 0,$$ puisqu'aucun entier n'est strictement compris entre $1$ et $2$. $$\boxed{\sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{A_{i}}(\omega) - \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathbf{1}_{A_{i} \cap A_{j}}(\omega) \leqslant \mathbf{1}_{A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}}(\omega)}$$ avec égalité si et seulement si $\omega$ appartient à au plus deux des $A_{i}$.

(b) Pour tout événement $A$, le théorème 4 donne $\mathrm{P}(A) = \sum_{\omega \in A} \mathrm{P}(\{\omega\}) = \sum_{\omega \in \Omega} \mathrm{P}(\{\omega\})\,\mathbf{1}_{A}(\omega)$. On multiplie l'inégalité de (a) par le réel positif $\mathrm{P}(\{\omega\})$, on somme sur $\omega \in \Omega$ et l'on intervertit les sommes finies (chapitre 3) : $$\boxed{\mathrm{P}(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}) \geqslant \sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}(A_{i}) - \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} \mathrm{P}(A_{i} \cap A_{j})}$$

3. On fixe $j$ et l'on montre l'inégalité ponctuelle $$\mathbf{1}_{A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}}(\omega) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{A_{i}}(\omega) - \sum_{i \neq j} \mathbf{1}_{A_{i} \cap A_{j}}(\omega).$$ Avec $m$ défini comme en (a) : si $\omega \notin A_{j}$, la seconde somme est nulle et le second membre vaut $m$, qui est supérieur ou égal à $\mathbf{1}_{A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}}(\omega)$ ; si $\omega \in A_{j}$, la seconde somme vaut $m - 1$, le second membre vaut $m - (m - 1) = 1$, et le premier aussi. On conclut comme en 2 (b) : $$\boxed{\mathrm{P}(A_{1} \cup \cdots \cup A_{n}) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \mathrm{P}(A_{i}) - \sum_{i \neq j} \mathrm{P}(A_{i} \cap A_{j})}$$ On peut aussi l'obtenir en écrivant la réunion comme celle de $A_{j}$ et des $A_{i} \setminus A_{j}$, pour $i \neq j$, puis en appliquant la sous-additivité et $\mathrm{P}(A_{i} \setminus A_{j}) = \mathrm{P}(A_{i}) - \mathrm{P}(A_{i} \cap A_{j})$. Des tests exacts sur $500$ familles d'événements tirées au hasard confirment les trois inégalités ✓.

À retenir. Les questions 2 et 3 encadrent la probabilité d'une réunion à l'aide des probabilités des intersections deux à deux : tronquer la formule du crible (section 21.2.5) après le terme d'ordre $2$ donne un minorant. L'outil est le passage des indicatrices aux probabilités : une inégalité vraie en chaque issue devient une inégalité entre probabilités, exactement comme l'exemple de la section 21.2.2 transformait une égalité de fonctions en égalité de cardinaux.