Exercice 35

a) On complète le carré $x^{4}+4y^{4}$ en $(x^{2}+2y^{2})^{2}=x^{4}+4x^{2}y^{2}+4y^{4}$ : $$x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-(2xy)^{2}=\boxed{(x^{2}-2xy+2y^{2})(x^{2}+2xy+2y^{2})}.$$

b) D'après a), $m^{4}+4n^{4}=(m^{2}-2mn+2n^{2})(m^{2}+2mn+2n^{2})$. Le second facteur vaut au moins $5$, et le premier s'écrit $(m-n)^{2}+n^{2}\geqslant 1$. Si $m^{4}+4n^{4}$ est premier, le premier facteur vaut nécessairement $1$, donc $(m-n)^{2}+n^{2}=1$ avec $n\geqslant 1$, ce qui impose $n=1$ et $m-n=0$, soit $m=n=1$. Réciproquement, $1^{4}+4\times 1^{4}=5$ est premier. Ainsi $\boxed{m^{4}+4n^{4} \text{ premier} \iff m=n=1}$.

En particulier, avec $n=1$, l'entier $m^{4}+4$ n'est jamais premier pour $m\geqslant 2$, par exemple $3^{4}+4=85=5\times 17$. Cette factorisation est appelée identité de Sophie Germain.