Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 1

Divisibilité et primalité

41 exercices corrigés · 12   16   11   2

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

• Exercice 1 1. Sans utiliser de discriminant, déterminer les valeurs de n entier relatif tel que: a) n^2+n=20 b) n^2+2n=35 2. Déterminer les couples d'entiers…
• Exercice 2 Le but de l'exercice est de trouver les valeurs du naturel n>4 pour lesquelles la fraction: (n+17)/(n-4) est un entier. 1. Démontrer que (n-4)…
• Exercice 3 Déterminer les entiers relatifs n tels que: a) 6 divise n+5 b) n divise n+6 c) n+3 divise n+10 d) n+1 divise 3n+4 e) 2n+1 divise 6n+12 f) 3n+1…
• Exercice 4 Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Dire si chacune des affirmations suivantes est Vraie ou Fausse, en justifiant par une…
• Exercice 5 Soit n un entier naturel. 1. Montrer que si n est impair alors n^2 aussi. 2. Montrer que si n est impair, alors n^2-1 est divisible par 8. 3.…
• Exercice 6 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n: 1. 3 divise 4^n-1; 2. 7 divise 9^n-2^n; 3. 6 divise n^3+5n; 4. 5 divise 2× 4^n+3× 9^n.
• Exercice 7 Soit n un entier naturel. 1. Montrer que (n+1) divise (n^2+5n+4) et (n^2+3n+2). 2. Déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles (n+1) divise…
• Exercice 8 Déterminer les entiers relatifs n tels que: a) n-2 divise n^2+3 (on pourra développer (n-2)(n+2)); b) n+2 divise n^2+5n+11; c) n^2+2 divise…

Division euclidienne

• Exercice 9 Déterminer, sans calculatrice, la division euclidienne de: a) 320 par 7 b) -187 par 7 c) 3225 par 11 d) 2024 par 17 e) -5000 par 13 f) 12345678 par 9
• Exercice 10 Soit a un entier naturel dont le reste dans la division euclidienne par 7 est égal à 3. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de…
• Exercice 11 La différence entre deux entiers naturels est 538. Si l’on divise l’un par l’autre le quotient est 13, et le reste 34. Quels sont ces deux entiers…
• Exercice 12 1. On divise un entier naturel n par 23, ce qui donne pour reste 1, et on divise ensuite n par 17 ce qui donne le même quotient mais pour reste 13.…
• Exercice 13 1. Déterminer les entiers naturels n dont le quotient et le reste dans la division euclidienne par 5 sont égaux. 2. Dans la division euclidienne de…
• Exercice 14 1. En distinguant les cas n=2k et n=2k+1, montrer que le reste de la division euclidienne de n^2 par 4 vaut 0 ou 1, pour tout entier n. 2. En…

Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

• Exercice 15 Sans calculatrice, déterminer si les entiers suivants sont premiers, et si ils ne le sont pas, donner leur décomposition en facteurs premiers: 97;…
• Exercice 16 1. Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers 360, 1001, 2024 et 3600, puis donner le nombre de diviseurs positifs de chacun d'eux. 2.…
• Exercice 17 Soit p > 3 un nombre premier. 1. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de p par 12 ? 2. Montrer que p^2 + 11 est divisible…
• Exercice 18 Déterminer si chacune des affirmations suivantes est Vraie ou Fausse: 1. Il existe une valeur n∈ℕ tel que 2n^2+n-10 est premier. 2. Il existe une…
• Exercice 19 L’entier parmi les nombres inférieurs ou égaux à 50 qui possède le plus de diviseurs en possède précisément 10. Trouver cet entier.
• Exercice 20 1. Montrer qu'un entier naturel possède exactement 7 diviseurs positifs si et seulement s'il s'écrit p^6 avec p premier. Quel est le plus petit…
• Exercice 21 On considère un entier n∈ℕ tel que n a exactement 5 diviseurs, et (n-16) est le produit de deux nombres premiers. 1. Montrer que n=p^4 avec p…
• Exercice 22 Soient a et b deux entiers tels que (a^2-b^2) soit un nombre premier. 1. Quelle relation existe-t-il entre a et b ? 2. Montrer que 401 est un nombre…
• Exercice 23 1. Déterminer les entiers naturels n pour lesquels n^2+2n-3 est un nombre premier. 2. Déterminer les entiers naturels n pour lesquels n^3-1 est un…

Exercices d'approfondissement

• Exercice 24 Soit n un entier relatif et A le nombre défini par: A = n^4 - 12n^2 + 16 1. En remarquant que A = n^4 - 8n^2 + 16 - 4n^2, factoriser A. 2. Montrer…
• Exercice 25 · Nombres de Mersenne Soit n∈ℕ^(), on appelle nombre de Mersenne tout nombre M_n=2^n-1. 1. Soient a∈ℕ^(). On suppose que a et n sont supérieurs ou égaux à 2. Montrer que…
• Exercice 26 · Somme des diviseurs Pour tout entier n≥ 1, on note σ(n) la somme des diviseurs positifs de n. 1. Calculer σ(72) à l'aide de la liste des diviseurs de 72 (exercice 16),…
• Exercice 27 · Une infinité de nombres premiers de la forme $6k+5$ 1. Montrer que tout nombre premier p≥ 5 s'écrit sous la forme 6k+1 ou 6k+5, avec k∈ℕ. 2. Montrer que le produit de deux entiers de la forme 6k+1 est…
• Exercice 28 · Critères de divisibilité Soit N un entier naturel, dont l'écriture décimale est N=overline a_ka_(k-1)… a_1a_0, c'est-à-dire: N=a_k× 10^k+a_(k-1)× 10^(k-1)+…+a_1× 10+a_0, où…

Pour aller plus loin

• Exercice 29 Soit n le produit de quatre éléments de ℕ^() consécutifs. Montrer que n+1 est le carré d'un entier.
• Exercice 30 Soient n∈ℕ^(), a et b dans ℤ. a) Montrer que a-b divise a^n-b^n. b) On suppose que n est impair. Montrer que a+b divise a^n+b^n.
• Exercice 31 Soient m et n deux éléments de ℕ^(), a≥ 2 un entier. a) Montrer que, si m divise n, a^m-1 divise a^n-1. b) On suppose que le reste de la division…
• Exercice 32 1. Soit n∈ℕ. En utilisant la factorisation (n+1)(n-1)=n^2-1, montrer que n+1 divise n^2+1 si et seulement si n+1 divise 2. En déduire l'ensemble des…
• Exercice 33 Montrer que, pour tout nombre premier p≥ 5, 24 divise p^2-1.
• Exercice 34 · Nombres de Fermat Soit n∈ℕ^() tel que 2^n+1 soit premier. Montrer que n est une puissance de 2.
• Exercice 35 Soient x et y deux nombres réels. a) En complétant un carré, donner une factorisation de x^4+4y^4. b) En déduire que, si m et n sont dans ℕ^(),…
• Exercice 36 1. Montrer que, si n≥ 2, aucun des nombres n!+k, 2≤ k≤ n, n'est premier. Il existe donc des suites d'entiers consécutifs de longueur arbitraire dont…
• Exercice 37 1. Montrer que √3 est irrationnel. Généraliser. 2. Montrer que √6 est irrationnel, puis en déduire que √2+√3 est irrationnel.
• Exercice 38 Pour n∈ℕ^(), on note d(n) le nombre de diviseurs de n dans ℕ^(). 1. Soient a et b dans ℕ^(). Montrer que a divise b si et seulement si a^2 divise…
• Exercice 39 Soit E=(m,n)∈ℕ^()×ℕ; m^2-1=2^n. a) Montrer que, si (m,n)∈ E, m-1 et m+1 sont de la forme 2^k avec k∈ℕ. b) Déterminer E.
• Exercice 40 Déterminer, parmi les nombres 101, 10101, 1010101 … ceux qui sont premiers.
• Exercice 41 · Nombres parfaits Un entier naturel n≥ 2 est parfait si la somme des diviseurs de n autres que n dans ℕ^() est égale à n, autrement dit si la somme des diviseurs de n…