Exercice 1

1. On utilise la factorisation et les propriétés de divisibilité :

(a) On constate que : $$\begin{aligned} n^2+n &= 20 \\ \Rightarrow \qquad n(n+1) &= 20 \end{aligned}$$ Or $n$ étant un entier relatif, on en déduit que $n$ divise 20, et fait donc partie de l'ensemble : $$\left\{-20,-10,-5,-4,-2,-1,1,2,4,5,10,20 \right\}$$ Dans cet ensemble, les seules valeurs possibles de $n$ sont ainsi celles telles que $(n+1)$ divise aussi $20$ et pour lesquelles $n(n+1)=20$. N'ayant que $-5\times(-4)$ et $4\times 5$ comme possibilités, on en déduit donc que : $$\boxed{ n\in \{-5,4\}}$$

(b) On procède de la même manière, en constatant que : $$\begin{aligned} n^2+2n &= 35 \\ \Rightarrow \qquad n(n+2) &= 35 \end{aligned}$$ Or $n$ étant un entier relatif, on en déduit que $n$ divise 35, et fait donc partie de l'ensemble : $$\left\{-35,-7,-5,-1,1,5,7,35 \right\}$$ Dans cet ensemble, les seules valeurs possibles de $n$ sont ainsi celles telles que $(n+2)$ divise aussi $35$ et pour lesquelles $n(n+2)=35$, n'ayant que $-7\times -5=35$ et $5 \times 7 =35$ comme possibilités, on en déduit donc que : $$\boxed{n\in \{-7,5\}}$$

2. On utilise de même la factorisation et les propriétés de divisibilité :

(a) On constate que : $$\begin{aligned} &x^2 = y^2+21 \\ \Rightarrow \qquad &x^2-y^2 = 21 \\ \Rightarrow \qquad &(x-y)(x+y) = 21 \end{aligned}$$ Or on ne dispose que de quatre possibilités pour factoriser $21$ : $$\begin{aligned} 1 \times 21 \qquad& -1\times -21 \\ 3 \times 7 \qquad& -3\times (-7) \end{aligned}$$ Pour la première factorisation, on a donc : $$\left\{ \begin{array}{ll} x-y = 1 \\ x+y =21 \end{array} \right. \qquad \text{ou} \qquad \left\{ \begin{array}{ll} x+y = 1 \\ x-y =21 \end{array} \right.$$ Ce qui nous donne rapidement : $$(x,y)=(11,10) \qquad \text{ou} \qquad (x,y)=(11,-10)$$ En procédant de la même façon pour toutes les factorisations, on trouve enfin : $$\boxed{ (x,y)\in \left\{(\pm 11,\pm10),(\pm 5,\pm 2)\right\} }$$

(b) On constate que : $$\begin{aligned} &x^2-7xy = 17 \\ &x(x-7y)=17 \end{aligned}$$ Or on ne dispose que de deux possibilités pour factoriser $17$ : $$1\times 17 \qquad \text{ou} \qquad -1\times -17$$ Pour la première factorisation, on a donc : $$\left\{ \begin{array}{ll} x=1 \\ x-7y= 17 \end{array} \right. \qquad \text{ou} \qquad \left\{ \begin{array}{ll} x=17 \\ x-7y=1 \end{array} \right.$$ Ce qui nous donne rapidement : $$\left\{ \begin{array}{ll} x=1 \\ -7y=16 \end{array} \right. \qquad \text{ou} \qquad \left\{ \begin{array}{ll} x=17 \\ 7y=16 \end{array} \right.$$ Or ni $7$ ni $-7$ ne divise $16$, ce qui rend impossible pour $y$ de prendre une valeur entière. Ainsi cette factorisation ne dispose d'aucune solution. On trouve de la même manière que l'autre factorisation est également sans solution, afin d'en déduire que : $$\boxed{ (x,y) \in \varnothing }$$