Exercice 2

Le but de l'exercice est de trouver les valeurs du naturel $n>4$ pour lesquelles la fraction : $$\frac{n+17}{n-4} \; \text{ est un entier.}$$

1. On sait que pour que $\dfrac{n+17}{n-4}$ soit entier, $n-4$ doit diviser $n+17$, or on remarque que : $$\begin{aligned} \frac{n+17}{n-4} &= \frac{n-4+21}{n-4} \\ &= \frac{n-4}{n-4}+\frac{21}{n-4} \\ &= 1 + \frac{21}{n-4} \end{aligned}$$ Ainsi pour que ce nombre soit entier, $21$ doit nécessairement être divisible par $n-4$.

2. Les diviseurs de $21$ sont : $$-21,-7,-3,-1,1,3,7,21$$

3. D'après la question précédente : $$n-4 \in \{ -21,-7,-3,-1,1,3,7,21 \}$$ On en déduit donc, sachant que $n>4$ : $$\boxed{n \in \{5,7,11,25 \} }$$