Exercice 3

a) Pour que $6$ divise $n+5$, il faut que $n+5$ soit multiple de $6$, autrement dit qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n+5=6k$, ce qui nous dit donc que : $$\boxed{ n\in \{6k-5 \; | \; k\in\mathbb{Z} \} }$$ En effet, tout élément de cet ensemble donne un $n+5$ divisible par 6. La première partie de notre raisonnement nous donne une contrainte sur $n$, on doit par la suite vérifier que l'ensemble donné est bien solution.

b) Pour que $n$ divise $n+6$, le nombre suivant doit être un entier : $$\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n}+\frac{6}{n} = 1+\frac{6}{n}$$ On en déduit alors que $n$ doit être un diviseur de $6$, et donc que : $$\boxed{ n\in \{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6 \}}$$

c) Pour que $n+3$ divise $n+10$, le nombre suivant doit être un entier : $$\begin{aligned} \frac{n+10}{n+3} &= \frac{n+3+7}{n+3} \\ &= \frac{n+3}{n+3}+\frac{7}{n+3} \\ &= 1+\frac{7}{n+3} \end{aligned}$$ On en déduit donc que $n+3$ doit être un diviseur de $7$, autrement dit que $n+3$ appartient à l'ensemble $\{-7,-1,1,7\}$, ce qui nous permet d'en conclure que : $$\boxed{ n\in \{ -10,-4,-2,4 \}}$$

d) Pour que $n+1$ divise $3n+4$, le nombre suivant doit être un entier : $$\begin{aligned} \frac{3n+4}{n+1} &= \frac{3n+3+1}{n+1} \\ &= \frac{3(n+1)}{n+1}+\frac{1}{n+1} \\ &= 3+\frac{1}{n+1} \end{aligned}$$ On en déduit donc que $n+1$ doit être un diviseur de $1$, autrement dit que $n+1$ appartient à l'ensemble $\{-1,1\}$, ce qui nous permet d'en conclure que : $$\boxed{ n\in \{-2,0 \} }$$

e) Pour que $2n+1$ divise $6n+12$, le nombre suivant doit être un entier : $$\begin{aligned} \frac{6n+12}{2n+1} &= \frac{6n+3+9}{2n+1} \\ &= \frac{3(2n+1)}{2n+1}+\frac{9}{2n+1} \\ &= 3+\frac{9}{2n+1} \end{aligned}$$ On en déduit donc que $2n+1$ doit être un diviseur de $9$, autrement dit que $2n+1$ appartient à l'ensemble $\{-9,-3,-1,1,3,9\}$, ce qui nous permet d'en conclure que : $$\boxed{ n \in \{ -5,-2,-1,0,1,4 \}}$$

f) Pour que $3n+1$ divise $10n-4$, le nombre suivant doit être un entier : $$\begin{aligned} \frac{10n-4}{3n+1} &= \frac{9n+3+n-7}{3n+1} \\ &= \frac{3(3n+1)}{3n+1} + \frac{n-7}{3n+1} \\ &= 3+\frac{n-7}{3n+1} \end{aligned}$$ On en déduit donc que $3n+1$ doit être un diviseur de $n-7$. Or si c'est le cas, alors d'après la Proposition 1 du cours, $3n+1$ est nécessairement diviseur de : $$3\times(n-7)+(-1)\times(3n+1)=-22 \qquad \text{(car }{3n+1}\text{ se divise lui même)}$$ On sait alors que $3n+1$ appartient à l'ensemble $\{-22,-11,-2,-1,1,2,11,22\}$, ce qui nous permet de conclure que : $$\boxed{ n \in \{-4,-1,0,7\}}$$ On peut vérifier notamment que $3n+1$ ne peut pas être égal à $-22$, $-1$, $2$ ou $11$, sinon $n$ ne serait pas entier.