Exercice 4

1. Vrai. Il existe $k$ et $k'$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $b=ka$ et $c=k'b$, donc $c=(k'k)a$ avec $k'k\in\mathbb{Z}$ : c'est la transitivité de la Proposition 1 du cours. Ainsi $\boxed{a \text{ divise } c}$.

2. Faux. Avec $a=2$ et $b=c=1$, on a bien $2$ qui divise $b+c=2$, mais $2$ ne divise ni $b$ ni $c$. L'erreur la plus répandue consiste à « distribuer » la divisibilité sur une somme : seule l'implication inverse est vraie.

3. Vrai. En écrivant $b=ka$ et $c=k'a$, on obtient $2b-3c=(2k-3k')a$ avec $2k-3k'\in\mathbb{Z}$. C'est le cas particulier $u=2$, $v=-3$ de la Proposition 1.

4. Faux. Avec $a=6$, $b=2$ et $c=3$, l'entier $6$ divise $bc=6$ mais ne divise ni $2$ ni $3$. L'affirmation devient vraie lorsque $a$ est un nombre premier : c'est exactement le lemme d'Euclide.

5. Faux. Avec $a=2$ et $b=-2$, chacun divise l'autre mais $a\neq b$. En revanche, si $b=ka$ et $a=k'b$, alors $a=kk'a$, donc $kk'=1$ puisque $a\neq 0$, ce qui impose $k=\pm 1$ : on a toujours $\boxed{a=\pm b}$, et $a=b$ si $a$ et $b$ sont tous deux positifs.

6. Vrai. Si $b=ka$, alors $b^{2}=k^{2}a^{2}$ avec $k^{2}\in\mathbb{Z}$, donc $\boxed{a^{2} \text{ divise } b^{2}}$. La réciproque est également vraie, mais beaucoup plus délicate : elle fait l'objet de l'exercice 38.