Exercice 5

Soit $n$ un entier naturel.

1. Supposons que $n$ est impair. Autrement dit, il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$, ce qui donne : $$\begin{aligned} n^2 &= (2k+1)^2 \\ &= 4k^2+4k+1 \\ &= 2\underbrace{(2k^2+2k)}_{\in\mathbb{Z}}+1 \\ &= 2k'+1 \qquad \text{où }{k'\in\mathbb{Z}} \end{aligned}$$ Ainsi, on a bien montré que $\boxed{{n^2}\text{ est impair}}$.

2. Supposons que $n$ est impair. Autrement dit, il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$, ce qui donne : $$\begin{aligned} n^2-1 &= (2k+1)^2-1 \\ &= 4k^2+4k \\ &= 4k(k+1) \end{aligned}$$ Or $k$ ou $k+1$ est nécessairement pair, et le produit d'un entier pair par n'importe quel autre entier est pair, donc il existe $k'\in\mathbb{Z}$ tel que $k(k+1)=2k'$, ce qui donne : $$n^2-1 = 4\times 2k'=8k'$$ On en déduit donc que $\boxed{{n^2-1}\text{ est divisible par }{8}}$.

3. On procède par disjonction de cas :

• Supposons que $n$ est pair :

On sait alors qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k$, et donc : $$\begin{aligned} 3n^4+5n+1 &= 3(2k)^4+5\times 2k+1 \\ &= 3\times 16 k^4+ 5\times 2k +1 \\ &= 48k^4+10k+1 \\ &= 2\underbrace{(24k^4+5k)}_{\in \mathbb{Z}}+1 \end{aligned}$$ Ce qui justifie que le nombre étudié est impair.

• Supposons que $n$ est impair :

On sait alors qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$, et donc : $$\begin{aligned} 3n^4+5n+1 &= 3(2k+1)^4 + 5(2k+1) +1 \\ &= 3(2k+1)^2(2k+1)^2+10k+5+1 \\ &= 3(4k^2+4k+1)(4k^2+4k+1)+10k+6 \\ &= 3(16k^4+16k^3+4k^2+16k^3+16k^2+4k+4k^2+4k+1)+10k+6 \\ &= 3(16k^4+32k^3+24k^2+8k+1)+10k+6 \\ &= 48k^4+96k^3+72k^2+24k+3+10k+6 \\ &= 48k^4+96k^3+72k^2+34k+8+1 \\ &= 2\underbrace{(24k^4+48k^3+36k^2+17k+4)}_{\in\mathbb{Z}}+1 \end{aligned}$$ Ce qui justifie que le nombre étudié est impair.

Le nombre $3n^4+5n+1$ est donc nécessairement impair, il n'est donc pas divisible par un nombre pair. Or on a vu précédemment que $n(n+1)$ est pair, ce qui justifie que : $$\boxed{{3n^4+5n+1}\text{ n'est jamais divisible par }{n(n+1)}}$$

4. Soit $n$ un nombre strictement inférieur à $100$. On pose $a$ le nombre entier correspondant au chiffre des dizaines de $n$, et $b$ le nombre entier correspondant au chiffre des unités de $n$. On a alors : $$n=10a+b$$ Sachant ceci, on constate alors que : $$\begin{aligned} n-(a+b) &= 10a+b-a-b \\ &= 9a \end{aligned}$$ Ce qui justifie qu'on obtient $\boxed{\text{un nombre divisible par }{9}}$.

5. Soit $n\in\mathbb{Z}$. On procède par disjonction de cas :

• Supposons qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=3k$ :

Ainsi : $$\begin{aligned} n(n^2+5) &= 3\underbrace{k((3k)^2+5)}_{\in\mathbb{Z}} \end{aligned}$$ Ce qui justifie que $n(n^2+5)$ est divisible par $3$.

• Supposons qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=3k+1$ :

Ainsi : $$\begin{aligned} n(n^2+5) &= (3k+1)((3k+1)^2+5) \\ &= (3k+1)(9k^2+6k+1+5) \\ &= (3k+1)(9k^2+6k+6) \\ &= 3\underbrace{(3k+1)(3k^2+2k+2)}_{\in\mathbb{Z}} \end{aligned}$$ Ce qui justifie que $n(n^2+5)$ est divisible par $3$.

• Supposons qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=3k+2$ :

Ainsi : $$\begin{aligned} n(n^2+5) &= (3k+2)((3k+2)^2+5) \\ &= (3k+2)(9k^2+12k+4+5) \\ &= (3k+2)(9k^2+12k+9) \\ &= 3\underbrace{(3k+2)(3k^2+4k+3)}_{\in\mathbb{Z}} \end{aligned}$$ Ce qui justifie que $n(n^2+5)$ est divisible par $3$.

On a donc prouvé que quel que soit $n\in\mathbb{Z}$, $\boxed{{n(n^2+5)}\text{ est divisible par }{3}}$.