Exercice 6

Les quatre récurrences suivent le même schéma : on fait apparaître dans l'expression au rang $k+1$ l'expression au rang $k$, puis on utilise l'hypothèse de récurrence.

1. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $3$ divise $4^{n}-1$ ».

• Initialisation : $4^{0}-1=0=3\times 0$, donc $\mathcal{P}_{0}$ est vraie.

• Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}_{k}$ soit vraie : il existe $m\in\mathbb{Z}$ tel que $4^{k}-1=3m$. Alors : $$4^{k+1}-1=4\times 4^{k}-4+3=4(4^{k}-1)+3=4\times 3m+3=3(4m+1),$$ donc $\mathcal{P}_{k+1}$ est vraie.

• Conclusion : Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{3 \text{ divise } 4^{n}-1}$.

2. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $7$ divise $9^{n}-2^{n}$ ». On a $9^{0}-2^{0}=0$, donc $\mathcal{P}_{0}$ est vraie. Si $9^{k}-2^{k}=7m$ avec $m\in\mathbb{Z}$, alors : $$9^{k+1}-2^{k+1}=9\times 9^{k}-2\times 2^{k}=9(9^{k}-2^{k})+7\times 2^{k}=7(9m+2^{k}),$$ donc $\mathcal{P}_{k+1}$ est vraie, et par récurrence $\boxed{7 \text{ divise } 9^{n}-2^{n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

3. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $6$ divise $n^{3}+5n$ ». On a $0^{3}+5\times 0=0$, donc $\mathcal{P}_{0}$ est vraie. Si $k^{3}+5k=6m$ avec $m\in\mathbb{Z}$, alors : $$\begin{aligned} (k+1)^{3}+5(k+1) &= k^{3}+3k^{2}+3k+1+5k+5 \\ &= (k^{3}+5k)+3k(k+1)+6. \end{aligned}$$ Or $k(k+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, dont l'un est pair : il existe $j\in\mathbb{N}$ tel que $k(k+1)=2j$, donc $3k(k+1)=6j$. On obtient $(k+1)^{3}+5(k+1)=6(m+j+1)$, et par récurrence $\boxed{6 \text{ divise } n^{3}+5n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

4. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $5$ divise $2\times 4^{n}+3\times 9^{n}$ ». On a $2+3=5$, donc $\mathcal{P}_{0}$ est vraie. Si $2\times 4^{k}+3\times 9^{k}=5m$ avec $m\in\mathbb{Z}$, alors en écrivant $9=4+5$ : $$\begin{aligned} 2\times 4^{k+1}+3\times 9^{k+1} &= 4\times 2\times 4^{k}+(4+5)\times 3\times 9^{k} \\ &= 4\,(2\times 4^{k}+3\times 9^{k})+15\times 9^{k} = 5\,(4m+3\times 9^{k}), \end{aligned}$$ donc par récurrence $\boxed{5 \text{ divise } 2\times 4^{n}+3\times 9^{n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Le chapitre suivant, consacré aux congruences, permettra de démontrer ces quatre résultats en une ligne chacun, sans récurrence.