Exercice 7

Soit $n$ un entier naturel.

1. Il suffit de faire apparaître $n+1$ en facteur. En effet : $$\begin{aligned} (n+1)(n+4) &= n^2 +n+4n+4 \\ &= n^2 +5n +4 \end{aligned}$$ Donc $\boxed{{(n^2+5n+4)}\text{ est bien divisible par }{(n+1)}}$. De plus : $$\begin{aligned} (n+1)(n+2) &= n^2+n+2n+2 \\ &= n^2+3n+2 \end{aligned}$$ Donc $\boxed{{(n^2+3n+2)}\text{ est bien divisible par }{(n+1)}}$.

2. On remarque que : $$\begin{aligned} \frac{3n^2+15n+19}{n+1} &= \frac{3n^2+3n+12n+12+7}{n+1} \\ &= \frac{3n^2+3n}{n+1}+\frac{12n+12}{n+1}+\frac{7}{n+1} \\ &= \frac{3n(n+1)}{n+1}+\frac{12(n+1)}{n+1}+\frac{7}{n+1} \\ &= 3n+12+\frac{7}{n+1} \end{aligned}$$ Ainsi $3n^2+15n+19$ est divisible par $(n+1)$ si et seulement si $7$ est divisible par $(n+1)$, et comme $n$ est un entier naturel, $n+1\geqslant 1$, donc $(n+1)$ appartient à l'ensemble $\{1\,;7\}$, autrement dit : $$\boxed{n\in \{0\,;6 \} }$$

3. On sait d'après la question 1. que $(n+1)$ divise $(n^2+3n+2)$ pour toute valeur de $n$. Si $(n^2+3n+2)$ divisait $(3n^2+15n+19)$, alors $(n+1)$ diviserait $(3n^2+15n+19)$ par transitivité, ce qui n'est possible, d'après la question 2, que pour $n=0$ ou $n=6$. Il reste à examiner ces deux cas : pour $n=0$, $n^2+3n+2=2$ ne divise pas $19$ ; pour $n=6$, $n^2+3n+2=56$ ne divise pas $3\times 36+90+19=217$, car $56\times 3=168$ et $56\times 4=224$. Ainsi : $$\boxed{{(3n^2+15n+19)}\text{ n'est jamais divisible par }{(n^2+3n+2)}}$$