Exercice 8

La méthode est celle de l'exercice 2 : on écrit le dividende comme un multiple du diviseur plus une constante, puis on utilise la Proposition 1.

a) On a $(n-2)(n+2)=n^{2}-4$, donc $n^{2}+3=(n-2)(n+2)+7$. Si $n-2$ divise $n^{2}+3$, comme il divise aussi $(n-2)(n+2)$, il divise leur différence $7$ ; réciproquement, si $n-2$ divise $7$, il divise la somme $(n-2)(n+2)+7$. Ainsi $n-2$ divise $n^{2}+3$ si et seulement si $n-2\in\{-7\,;-1\,;1\,;7\}$, c'est-à-dire : $$\boxed{n\in\{-5\,;1\,;3\,;9\}}$$ Vérification : pour $n=9$, $n^{2}+3=84=7\times 12$ ; pour $n=-5$, $n^{2}+3=28=(-7)\times(-4)$.

b) On a $(n+2)(n+3)=n^{2}+5n+6$, donc $n^{2}+5n+11=(n+2)(n+3)+5$. Comme précédemment, $n+2$ divise $n^{2}+5n+11$ si et seulement si $n+2$ divise $5$, soit $n+2\in\{-5\,;-1\,;1\,;5\}$ : $$\boxed{n\in\{-7\,;-3\,;-1\,;3\}}$$ Vérification : pour $n=3$, $n^{2}+5n+11=35=5\times 7$.

c) On a $n^{4}+2n^{2}+7=n^{2}(n^{2}+2)+7$, donc $n^{2}+2$ divise $n^{4}+2n^{2}+7$ si et seulement si $n^{2}+2$ divise $7$. Comme $n^{2}+2\geqslant 2$ est positif, cela impose $n^{2}+2=7$, soit $n^{2}=5$, ce qui est impossible pour un entier. Il n'y a donc $\boxed{\text{aucune solution}}$.