Exercice 9

On pose les divisions euclidiennes :

a) On cherche à diviser $320$ par $7$ :

On a donc $\boxed{320=7\times 45+5}$.

b) On cherche à diviser $-187$ par $7$, on s'intéresse donc à la division de $187$ par $7$ puis on arrangera afin d'obtenir un reste positif :

Ce qui donne : $$\begin{aligned} 187 &= 7 \times 26 + 5 \\ \Rightarrow \qquad -187& =7\times(-26)-5 \\ &= 7\times (-26)-5+7-7 \\ &= 7\times (-27)+2 \end{aligned}$$ On a donc $\boxed{-187=7\times(-27)+2}$.

c) On cherche à diviser $3225$ par $11$ :

On a donc $\boxed{3225=11\times 293+2}$. Vérification : $11\times 293=3\,223$ et $3\,225-3\,223=2$.

d) On cherche à diviser $2024$ par $17$ :

On a donc $\boxed{2024=17\times 119+1}$.

e) On cherche à diviser $-5000$ par $13$, on s'intéresse donc à la division de $5000$ par $13$ puis on arrangera afin d'obtenir un reste positif :

On a donc : $$\begin{aligned} 5000 &= 13\times 384 +8 \\ \Rightarrow \qquad -5000 &= 13\times (-384) -8 \\ &= 13\times (-384)-8+13-13 \\ &= 13\times (-385)+5 \end{aligned}$$ Ainsi $\boxed{-5000=13\times (-385)+5}$.

f) On peut vérifier en posant la division que : $\boxed{12345678=9\times 1371742}$.