Exercice 10

1. Il existe $q\in\mathbb{N}$ tel que $a=7q+3$. Pour chaque nombre, on cherche une écriture $7Q+R$ avec $0\leqslant R<7$, et l'unicité de la division euclidienne garantit que $R$ est le reste.

• $2a=14q+6=7\times(2q)+6$ : le reste est $\boxed{6}$.

• $a+5=7q+8=7(q+1)+1$ : le reste est $\boxed{1}$. Attention, $8$ n'est pas un reste possible : il faut « faire passer » $7$ dans le quotient.

• $a^{2}=49q^{2}+42q+9=7(7q^{2}+6q+1)+2$ : le reste est $\boxed{2}$.

• En notant $m=7q^{2}+6q+1$, on a $a^{3}=a^{2}\times a=(7m+2)(7q+3)=49mq+21m+14q+6=7(7mq+3m+2q)+6$ : le reste est $\boxed{6}$.

2. D'après ce qui précède, $a^{3}+1=7(7mq+3m+2q)+7=7(7mq+3m+2q+1)$, donc $\boxed{7 \text{ divise } a^{3}+1}$.

On remarque que ces restes ne dépendent que du reste de $a$, et non de $q$ : c'est l'idée qui fonde les congruences, étudiées au chapitre suivant.