Exercice 11

Soient $a$ et $b$ les deux entiers naturels désignés par l'énoncé, tels que $a>b$. On a alors : $$\left\{ \begin{array}{ll} a-b=538 \\ a=13b+34 \end{array}\right.$$ Ce qui donne par combinaison linéaire, en soustrayant la deuxième équation à la première : $$\begin{aligned} -b &= 538-13b-34 \\ \Rightarrow \qquad 12b &= 504 \\ \Rightarrow \qquad b &= 42 \end{aligned}$$ Or sachant que $a=538+b$, on en déduit que $a=580$, d'où $\boxed{(a,b)=(580,42)}$. Vérification : $580=13\times 42+34$ avec $34<42$.