Exercice 12

1. On pose $q$ le quotient de la division euclidienne de $n$. On a alors d'après l'énoncé : $$\left\{ \begin{array}{ll} n=23q+1 \\ n=17q+13 \end{array} \right.$$ En soustrayant la deuxième équation à la première, on obtient alors : $$\begin{aligned} 0 &= 6q-12 \\ \Rightarrow \qquad q &= 2 \end{aligned}$$ On en déduit ensuite que $\boxed{n=47}$.

2. On pose $q$ le quotient de la division euclidienne de $n$. On a alors d'après l'énoncé : $$\left\{ \begin{array}{ll} n=152q+13 \\ n=147q+98 \end{array} \right.$$ En soustrayant la deuxième équation à la première, on obtient alors : $$\begin{aligned} 0 &= 5q-85 \\ \Rightarrow \qquad q &= 17 \end{aligned}$$ On en déduit ensuite que $\boxed{n=2597}$.