Exercice 13

1. On écrit $n=5q+r$ avec $0\leqslant r\leqslant 4$. La condition $q=r$ donne $n=5r+r=6r$ avec $r\in\llbracket 0;4\rrbracket$, donc : $$\boxed{n\in\{0\,;6\,;12\,;18\,;24\}}$$ Pour $r=5$, on aurait $n=30=5\times 6+0$ : le reste n'est plus $5$, ce qui explique que la liste s'arrête à $24$.

2. On a $1000=37b+r$ avec $0\leqslant r<b$. On en déduit $37b\leqslant 1000<37b+b=38b$, c'est-à-dire : $$\frac{1000}{38}<b\leqslant\frac{1000}{37}, \qquad\text{soit}\qquad 26{,}3\dots<b\leqslant 27{,}02\dots$$ Le seul entier possible est $b=27$, et alors $r=1000-37\times 27=1000-999=1$. Ainsi $\boxed{b=27 \text{ et } r=1}$.

3. On a $a=13\times 7+r=91+r$ avec $0\leqslant r\leqslant 12$, donc $\boxed{a\in\llbracket 91;103\rrbracket}$, soit treize valeurs.