Exercice 14

1. Si $n=2k$, alors $n^{2}=4k^{2}$ et le reste est $0$. Si $n=2k+1$, alors $n^{2}=4k^{2}+4k+1=4(k^{2}+k)+1$ et le reste est $1$. Ainsi $\boxed{\text{le reste de } n^{2} \text{ par } 4 \text{ vaut } 0 \text{ ou } 1}$.

2. Si $x^{2}=4a+r$ et $y^{2}=4b+s$ avec $r,s\in\{0\,;1\}$, alors $x^{2}+y^{2}=4(a+b)+(r+s)$ avec $r+s\in\{0\,;1\,;2\}$. Comme $r+s<4$, c'est le reste de la division par $4$, qui vaut donc $0$, $1$ ou $2$. Or $2023=4\times 505+3$ : $\boxed{2023 \text{ n'est pas une somme de deux carrés}}$.

3. On écrit $n=4k+r$ avec $r\in\{0\,;1\,;2\,;3\}$ : $$\begin{aligned} (4k)^{2} &= 16k^{2}=8\times 2k^{2}+0, & (4k+1)^{2} &= 8(2k^{2}+k)+1, \\ (4k+2)^{2} &= 8(2k^{2}+2k)+4, & (4k+3)^{2} &= 8(2k^{2}+3k+1)+1. \end{aligned}$$ Ainsi $\boxed{\text{le reste de } n^{2} \text{ par } 8 \text{ vaut } 0, 1 \text{ ou } 4}$.

4. Si $x^{2}=8a+r$, $y^{2}=8b+s$ et $z^{2}=8c+t$ avec $r,s,t\in\{0\,;1\,;4\}$, alors $x^{2}+y^{2}+z^{2}=8(a+b+c)+(r+s+t)$. Les valeurs possibles de $r+s+t$ sont $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$ et $12$ ; lorsque la somme dépasse $7$, on retire $8$ pour obtenir le reste ($8\to 0$, $9\to 1$, $12\to 4$). Les restes possibles sont donc $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$, mais jamais $7$. Comme $2023=8\times 252+7$, $\boxed{2023 \text{ n'est pas une somme de trois carrés}}$.

Il faut en revanche quatre carrés : $2023=1^{2}+2^{2}+13^{2}+43^{2}$. Lagrange a démontré en 1770 que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers.