Exercice 21

On considère un entier $n\in\mathbb{N}$ tel que $n$ a exactement $5$ diviseurs, et $(n-16)$ est le produit de deux nombres premiers.

1. On procède comme dans l'exercice 19 pour constater que : $$n=p_{1}^{\alpha_1}p_{2}^{\alpha_2}\dots p_{k}^{\alpha_k} \qquad \text{tel que} \qquad (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)=5$$ Ainsi, on en déduit qu'un seul élément peut faire partie du produit, et donc que seul $p_1$ est différent de $1$, avec $\alpha_1=4$. Donc si on note $p=p_1$, on a : $$\boxed{n=p^4}$$

2. On constate que : $$\begin{aligned} n-16=p^4-16 &= (p^2-4)(p^2+4) \\ &= \boxed{(p-2)(p+2)(p^2+4)} \end{aligned}$$

3. Sachant que $n-16$ est le produit d'exactement deux nombres premiers, l'un des trois facteurs obtenus à la question précédente vaut nécessairement $1$ (pour $p=2$ on aurait $n-16=0$, donc $p\geqslant 3$ et tous les facteurs sont positifs). Le seul candidat possible est $p-2$, on en déduit donc que $\boxed{p=3}$ et donc que $\boxed{n=3^4=81}$. Vérification : $81-16=65=5\times 13$, et $81$ a bien $5$ diviseurs : $1$, $3$, $9$, $27$ et $81$.