Exercice 22

Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $(a^{2}-b^{2})$ soit un nombre premier.

1. On sait que : $$\begin{aligned} a^2-b^2 &= (a-b)(a+b) \end{aligned}$$ Or $(a^2-b^2)$ est premier donc $(a-b)$ vaut nécessairement $1$, d'où : $\boxed{a=b+1}$.

2. $401$ n'est divisible par aucun premier inférieur à $23$, il est donc premier.

3. D'après la question $1$, on a donc : $$\begin{aligned} &\left\{ \begin{array}{ll} x+y =401 \\ x-y=1 \end{array} \right. \\ \Rightarrow \qquad &2x=402 \\ \Rightarrow \qquad &x=201 \end{aligned}$$ On en déduit que $y=200$, et ainsi $\boxed{(x,y)=(201,200)}$.