Exercice 23

Dans chaque question, on factorise : un produit de deux entiers naturels ne peut être premier que si l'un des facteurs vaut $1$.

1. On a $n^{2}+2n-3=(n-1)(n+3)$. Pour $n=0$, on obtient $-3$, et pour $n=1$, on obtient $0$, qui ne sont pas premiers. Pour $n\geqslant 2$, les deux facteurs sont positifs et $n+3\geqslant 5$, donc le nombre ne peut être premier que si $n-1=1$, soit $n=2$, qui donne bien $5$. Ainsi $\boxed{n=2}$.

2. On a $n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1)$. Pour $n\in\{0\,;1\}$, on obtient $-1$ ou $0$. Pour $n\geqslant 2$, $n^{2}+n+1\geqslant 7>1$, donc il faut $n-1=1$, soit $n=2$, qui donne $7$, premier. Ainsi $\boxed{n=2}$.

3. On a $|n^{2}-6n+8|=|n-2|\times|n-4|$. Ce produit est premier si et seulement si l'un des facteurs vaut $1$ et l'autre est premier. Si $|n-2|=1$, alors $n=1$, qui donne $1\times 3=3$, premier, ou $n=3$, qui donne $1\times 1=1$, non premier. Si $|n-4|=1$, alors $n=3$, déjà exclu, ou $n=5$, qui donne $3\times 1=3$. Ainsi $\boxed{n\in\{1\,;5\}}$.

4. On a $4^{n}-1=(2^{n})^{2}-1=(2^{n}-1)(2^{n}+1)$. Pour $n=0$, on obtient $0$ ; pour $n=1$, on obtient $3$, premier ; pour $n\geqslant 2$, on a $2^{n}-1\geqslant 3$ et $2^{n}+1\geqslant 5$, donc $4^{n}-1$ n'est pas premier. On retrouve d'ailleurs que $3$ divise $4^{n}-1$ (exercice 6).