Exercice 24

Soit $n$ un entier relatif et $A$ le nombre défini par : $$A = n^{4} - 12n^{2} + 16$$

1. On constate que : $$\begin{aligned} A &= n^{4} - 8n^{2} + 16 - 4n^{2} \\ &= (n^2-4)^2-(2n)^2 \\ &=(n^2-4+2n)(n^2-4-2n) \end{aligned}$$

2. Supposons que $n$ est pair, il existe donc $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k$. Ainsi : $$\begin{aligned} |A| &= |(2k)^4-12(2k)^2+16| \\ &= |16k^4-48k^2+16| \\ &= 16\times |k^4-3k^2+1| \end{aligned}$$ Or $k^4-3k^2+1$ ne peut pas être nul pour $k$ entier (on aurait $k^{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, qui n'est pas entier), donc $|A|\geqslant 16$ et $|A|$ est divisible par $2$ : $\boxed{{|A|}\text{ n'est pas premier}}$.

3. On suppose que $n$ est impair. On pose alors $n = 2k + 1$ avec $k \in\mathbb{Z}$.

(a) On suppose que $n$ est impair, donc qu'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2k+1$. On constate tout d'abord que : $$\begin{aligned} (4k^{2} + 8k - 1)(4k^{2} - 5) &= 4k^2\times4k^2+4k^2\times(-5)+8k\times 4k^2 \\ &\qquad +8k\times(-5) -4k^2+5 \\ &= 16k^4-20k^2+32k^3 -40k-4k^2+5 \\ &= 16k^4+32k^3-24k^2-40k+5 \end{aligned}$$ On constate alors de plus que : $$\begin{aligned} A &= (2k+1)^4-12(2k+1)^2 +16 \\ &= (2k+1)^2(2k+1)^2-12(4k^2+4k+1) +16 \\ &= (4k^2+4k+1)(4k^2+4k+1)-48k^2-48k-12+16 \\ &= 16k^4+16k^3+4k^2+16k^3+16k^2+4k+4k^2+4k+1-48k^2-48k+4 \\ &= 16k^4+32k^3-24k^2-40k+5 \\ &= (4k^{2} + 8k - 1)(4k^{2} - 5) \end{aligned}$$

(b) $|A|$ est un nombre premier seulement si l'un de ses deux facteurs vaut $1$ ou $-1$, donc premièrement si $4k^2+8k-1=1$ ou $4k^2-5=1$. On a tout d'abord : $$\begin{aligned} 4k^2+8k-1=1 \qquad &\Rightarrow \qquad 4k^2+8k-2=0 \\ &\Rightarrow \qquad 2k^2+4k-1=0 \end{aligned}$$ Or cette équation a pour discriminant : $$\Delta = 4^2-4\times 2\times (-1) = 25$$ Elle a ainsi deux solutions réelles : $$k_1=\dfrac{-4-5}{2\times2}=-\frac{11}{4} \qquad \text{et} \qquad k_2=\dfrac{-4+5}{2\times2}=\frac{1}{4}$$ Or aucune des deux n'est entière. De plus la deuxième équation équivaut à $k^2=\dfrac{3}{2}$, qui n'a manifestement pas non plus de solutions entières.

On regarde deuxièmement $4k^2+8k-1=-1$ et $4k^2-5=-1$. On a tout d'abord : $$\begin{aligned} 4k^2+8k-1=-1 \qquad &\Rightarrow \qquad 4k^2+8k=0 \\ &\Rightarrow \qquad k(k+2)=0 \end{aligned}$$ On a donc deux solutions entières, $k_1=0$ et $k_2=-2$. De plus la deuxième équation équivaut à $k^2=1$, elle donne donc deux solutions entières supplémentaires, $k_3=1$ et $k_4=-1$. On peut enfin en conclure que $|A|$ est premier pour : $$\boxed{n\in \{-3, -1,1,3 \} }$$