Exercice 20

Dans tout l'exercice, on écrit $N=p_{1}^{\alpha_{1}}\times\dots\times p_{k}^{\alpha_{k}}$ avec des exposants $\alpha_{i}\geqslant 1$, de sorte que chaque facteur $\alpha_{i}+1$ du nombre de diviseurs est au moins égal à $2$.

1. Si $(\alpha_{1}+1)\times\dots\times(\alpha_{k}+1)=7$, comme $7$ est premier et que chaque facteur vaut au moins $2$, il n'y a qu'un seul facteur : $k=1$ et $\alpha_{1}=6$, donc $N=p^{6}$. Réciproquement, $p^{6}$ a bien $6+1=7$ diviseurs. Le plus petit est $\boxed{2^{6}=64}$.

2. On a $9=9=3\times 3$, donc $N=p^{8}$ ou $N=p^{2}q^{2}$ avec $p<q$ premiers. Le plus petit nombre de la première forme est $2^{8}=256$, celui de la seconde $2^{2}\times 3^{2}=36$. Le plus petit entier ayant $9$ diviseurs est donc $\boxed{36}$.

3. On a $12=12=6\times 2=4\times 3=3\times 2\times 2$. Pour minimiser $N$, on attribue les plus grands exposants aux plus petits nombres premiers : $$\begin{aligned} &p^{11} : 2^{11}=2048 ; & &p^{5}q : 2^{5}\times 3=96 ; & &p^{3}q^{2} : 2^{3}\times 3^{2}=72 ; & &p^{2}qr : 2^{2}\times 3\times 5=60. \end{aligned}$$ Le plus petit entier ayant $12$ diviseurs est donc $\boxed{60}$.

L'erreur la plus répandue est d'oublier une des factorisations possibles du nombre de diviseurs : ici, c'est la dernière, avec trois facteurs premiers, qui donne le minimum.