Exercice 19

Notons $N$ le nombre recherché. On utilise dans cet exercice la propriété sur le nombre de diviseurs à partir de la décomposition en facteurs premiers. En effet, on cherche : $$N=p_{1}^{\alpha_1}p_{2}^{\alpha_2}\dots p_{k}^{\alpha_k} \qquad \text{tel que} \qquad (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)=10$$ Or $10=2\times 5$, le produit ne peut donc être que $10$ ou $2\times 5$. On comprend tout d'abord qu'aucun $\alpha_i$ ne peut valoir $9$, car sinon $p_{i}^9$ serait supérieur à $50$, ce qui est impossible. Ainsi le produit est nécessairement $2\times5$ et on a un $\alpha_i$ qui vaut $1$ et l'autre qui vaut $4$. Sachant que $3^4=81$, ce qui est supérieur à $50$, on en déduit que $4$ est l'exposant du nombre premier $2$, ce qui donne alors : $$N=2^4\times 3^1=48$$ Le deuxième nombre premier est nécessairement $3$, car $2^4\times 5^1=80>50$. On peut donc enfin conclure qu'il n'existe qu'un unique entier contenu entre $0$ et $50$ qui possède précisément $10$ diviseurs, et c'est : $$\boxed{N=48}$$