Exercice 18

Déterminer si chacune des affirmations suivantes est Vraie ou Fausse :

1. $\boxed{\text{Vraie, pour }{n=3}}$, en effet : $$2\times 3^2+3-10 = 18-7 = 11 \; \text{qui est premier}$$

2. $\boxed{\text{Fausse}}$, en effet pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} (2n+3)(n+2) &= 2n^2+4n+3n+6 \\ &= 2n^2+7n+6 \end{aligned}$$ Et par définition de $n$, $(2n+3)$ et $(n+2)$ sont des entiers différents de $1$.

3. $\boxed{\text{Vraie}}$, en effet, on remarque que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} n^{2}-3n+10 &= n(n-3)+10 \end{aligned}$$ Or $n$ ou $n-3$ est nécessairement pair, donc $n(n-3)$ est pair. Le nombre $10$ étant également pair, $2$ est donc facteur du nombre $n(n-3)+10$. De plus, $n^2-3n+10=\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{31}{4}\geqslant\frac{31}{4}>2$ : c'est un nombre pair différent de $2$, ce qui justifie que $n^2-3n+10$ n'est pas premier.

4. $\boxed{\text{Fausse}}$, en effet, on pourrait tester jusqu'à trouver un contre exemple, mais en partant de l'idée que l'affirmation est vraie, on peut mettre en évidence ce dernier. Soit $n\in\mathbb{N}$ impair, on sait alors qu'il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$. Ainsi : $$\begin{aligned} N &= n+(n+2)+n(n+2) \\ &= 2k+1+(2k+3)+(2k+1)(2k+3) \\ &= 4k+4+(4k^2+6k+2k+3) \\ &= 4k^2+12k+7 \end{aligned}$$ Or on voit ici que si $n=15$, donc si $k=7$, alors $7$ est facteur de $N$, ce qui prouve que $N$ n'est pas premier. ($n=9$ est également un contre-exemple)