Exercice 17

Soit $p > 3$ un nombre premier.

1. Si on considère la division euclidienne de $p$ par $12$ en notant $q$ on quotient et $r$ son reste, on a alors : $$p=12q+r$$ avec $0\leqslant r<12$. On élimine les restes impossibles : si $r$ est pair, alors $p=2(6q)+r$ est pair, donc $p=2$, ce qui est exclu puisque $p>3$ ; si $r=3$ ou $r=9$, alors $p=3(4q)+r$ est divisible par $3$, donc $p=3$, ce qui est également exclu ; enfin $r=0$ donnerait $p=12q$, divisible par $12$. On en déduit donc : $$\boxed{ r \in \{ 1,5,7,11 \} }$$

2. On remarque que : $$\begin{aligned} p^2+11 &= (12q+r)^2+11 \\ &= 144q^2+24qr+r^2+11 \\ &= 12(12q^2+2qr)+r^2+11 \end{aligned}$$ Ainsi $p^2+11$ est divisible par $12$ si et seulement si $r^2+11$ est divisible par $12$, or pour les différentes valeurs possibles de $r$ : $$\begin{aligned} 1^2+11 &= 12 \\ 5^2+11&= 25+11 \\ &= 36 = 3\times 12 \\ 7^2+11 &= 49 +11 \\ &= 60 = 5 \times 12 \\ 11^2+11 &= 11(11+1) = 11\times 12 \end{aligned}$$ Ce qui prouve que $\boxed{{p^2+11}\text{ est divisible par }{12}}$.