Exercice 31

a) Si $n=mk$ avec $k\in\mathbb{N}^{*}$, alors $a^{n}-1=(a^{m})^{k}-1^{k}$, qui est divisible par $a^{m}-1$ d'après l'exercice 30 a). Ainsi $\boxed{a^{m}-1 \text{ divise } a^{n}-1}$.

b) On écrit $n=mq+r$ avec $0\leqslant r<m$. Alors : $$a^{n}-1=a^{r}\left(a^{mq}-1\right)+\left(a^{r}-1\right).$$ Si $q\geqslant 1$, la question a) donne $a^{mq}-1=(a^{m}-1)Q$ avec $Q=1+a^{m}+\dots+a^{m(q-1)}$ ; si $q=0$, on pose $Q=0$. On obtient l'identité : $$\boxed{a^{n}-1=(a^{m}-1)\times a^{r}Q+\left(a^{r}-1\right)}$$ Comme $a\geqslant 2$ et $0\leqslant r<m$, on a $1\leqslant a^{r}<a^{m}$, donc $0\leqslant a^{r}-1<a^{m}-1$. Par unicité de la division euclidienne, le quotient de $a^{n}-1$ par $a^{m}-1$ est $a^{r}Q$ et le reste est $\boxed{a^{r}-1}$.

Vérification : pour $a=2$, $n=10$, $m=3$, on a $r=1$, et en effet $2^{10}-1=1023=7\times 146+1$. On en déduit que $a^{m}-1$ divise $a^{n}-1$ si et seulement si $r=0$, c'est-à-dire si et seulement si $m$ divise $n$.