Exercice 30

a) On montre l'identité $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1})$. En effet, en développant, les termes se télescopent : $$\begin{aligned} (a-b)\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^{i} &= \sum_{i=0}^{n-1}a^{n-i}b^{i}-\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^{i+1} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1}a^{n-i}b^{i}-\sum_{i=1}^{n}a^{n-i}b^{i}=a^{n}-b^{n}. \end{aligned}$$ La somme $\sum a^{n-1-i}b^{i}$ étant un entier, $\boxed{a-b \text{ divise } a^{n}-b^{n}}$. Pour $b=1$, on retrouve l'identité utilisée dans l'exercice 25 sur les nombres de Mersenne.

b) Si $n$ est impair, $(-b)^{n}=-b^{n}$. En appliquant a) aux entiers $a$ et $-b$, on obtient que $a-(-b)=a+b$ divise $a^{n}-(-b)^{n}=a^{n}+b^{n}$. Ainsi $\boxed{a+b \text{ divise } a^{n}+b^{n}}$. Pour $n$ pair, c'est faux en général : $1+2=3$ ne divise pas $1^{2}+2^{2}=5$.