Exercice 29

Soit $n=k(k+1)(k+2)(k+3)$ avec $k\in\mathbb{N}^{*}$. On regroupe le premier facteur avec le dernier, et les deux du milieu ensemble : $$k(k+3)=k^{2}+3k \qquad\text{et}\qquad (k+1)(k+2)=k^{2}+3k+2.$$ En posant $u=k^{2}+3k$, on obtient $n=u(u+2)=u^{2}+2u$, donc : $$n+1=u^{2}+2u+1=(u+1)^{2}=\boxed{(k^{2}+3k+1)^{2}}$$ Vérification : pour $k=1$, $n+1=24+1=25=5^{2}$ ; pour $k=2$, $n+1=120+1=121=11^{2}$. L'énoncé original du poly écrit « $n-1$ », ce qui est une coquille : $24-1=23$ n'est pas un carré.