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ExerciceMaths expertes, chapitre 1 — Divisibilité et primalité · Exercices d'approfondissement

Exercice 28 Critères de divisibilité

Démonstration

Soit NN un entier naturel, dont l'écriture décimale est N=akak−1…a1a0‾N=\overline{a_{k}a_{k-1}\dots a_{1}a_{0}}, c'est-à-dire : N=ak×10k+ak−1×10k−1+⋯+a1×10+a0,ouˋ les chiffres ai sont dans ⟦0;9⟧.N=a_{k}\times 10^{k}+a_{k-1}\times 10^{k-1}+\dots+a_{1}\times 10+a_{0}, \qquad\text{où les chiffres } a_{i} \text{ sont dans } \llbracket 0;9\rrbracket.

1. Montrer par récurrence que, pour tout n∈ℕn\in\mathbb{N}, 10n−110^{n}-1 est divisible par 99.

2. On note S=ak+⋯+a1+a0S=a_{k}+\dots+a_{1}+a_{0} la somme des chiffres de NN. Montrer que N−SN-S est divisible par 99. En déduire que NN est divisible par 99 si et seulement si SS l'est, puis qu'il en est de même pour 33.

3. L'entier 123 456 789123\,456\,789 est-il divisible par 99 ?

4. Montrer par récurrence que, pour tout n∈ℕn\in\mathbb{N}, 102n−110^{2n}-1 et 102n+1+110^{2n+1}+1 sont divisibles par 1111.

5. On note T=a0−a1+a2−⋯+(−1)kakT=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\dots+(-1)^{k}a_{k} la somme alternée des chiffres de NN. Montrer que N−TN-T est divisible par 1111, et en déduire un critère de divisibilité par 1111.

6. L'entier 918 082918\,082 est-il divisible par 1111 ?

Corrigé

1. On a 100−1=010^{0}-1=0, divisible par 99. Si 10k−1=9m10^{k}-1=9m, alors 10k+1−1=10(10k−1)+9=9(10m+1)10^{k+1}-1=10(10^{k}-1)+9=9(10m+1). Par récurrence, 9 divise 10n−1\boxed{9 \text{ divise } 10^{n}-1} pour tout n∈ℕn\in\mathbb{N}.

2. En regroupant les termes : N−S=ak(10k−1)+ak−1(10k−1−1)+⋯+a1(10−1)+a0(1−1).N-S=a_{k}(10^{k}-1)+a_{k-1}(10^{k-1}-1)+\dots+a_{1}(10-1)+a_{0}(1-1). Chaque 10i−110^{i}-1 est un multiple de 99 d'après la question 1, donc 99 divise N−SN-S par la Proposition 1. Si 99 divise SS, il divise N=(N−S)+SN=(N-S)+S ; si 99 divise NN, il divise S=N−(N−S)S=N-(N-S). Enfin 33 divise 99, donc 33 divise aussi N−SN-S par transitivité, et le même raisonnement montre que 33 divise NN si et seulement si 33 divise SS.

3. La somme des chiffres de 123 456 789123\,456\,789 est 1+2+⋯+9=45=9×51+2+\dots+9=45=9\times 5, donc 123 456 789123\,456\,789 est divisible par 9\boxed{\text{divisible par } 9} ; on trouve d'ailleurs 123 456 789=9×13 717 421123\,456\,789=9\times 13\,717\,421.

4. On note 𝒬n\mathcal{Q}_{n} : « 1111 divise 102n−110^{2n}-1 ». On a 100−1=010^{0}-1=0. Si 102k−1=11m10^{2k}-1=11m, alors : 102k+2−1=100(102k−1)+99=11(100m+9).10^{2k+2}-1=100(10^{2k}-1)+99=11(100m+9). Par récurrence, 1111 divise 102n−110^{2n}-1 pour tout nn. On en déduit 102n+1+1=10(102n−1)+11=11(10m+1)10^{2n+1}+1=10(10^{2n}-1)+11=11(10m+1), divisible par 1111.

5. On a N−T=∑i=0kai(10i−(−1)i)N-T=\displaystyle\sum_{i=0}^{k}a_{i}\left(10^{i}-(-1)^{i}\right). Pour ii pair, 10i−(−1)i=10i−110^{i}-(-1)^{i}=10^{i}-1 et pour ii impair, 10i−(−1)i=10i+110^{i}-(-1)^{i}=10^{i}+1 : dans les deux cas, c'est un multiple de 1111 d'après la question 4. Donc 1111 divise N−TN-T et, comme à la question 2 : 11 divise N  ⟺  11 divise T\boxed{11 \text{ divise } N \iff 11 \text{ divise } T}

6. En partant du chiffre des unités, T=2−8+0−8+1−9=−22=11×(−2)T=2-8+0-8+1-9=-22=11\times(-2), donc 918 082918\,082 est divisible par 11\boxed{\text{divisible par } 11} ; en effet 918 082=11×83 462918\,082=11\times 83\,462.

La question 2 généralise la question 4 de l'exercice 5, qui ne traitait que des nombres à deux chiffres. Avec les congruences du chapitre suivant, ces critères découleront immédiatement de ce que 1010 a pour reste 11 dans la division par 99, et −1-1 « modulo 1111 ».

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Dans l'édifice

Division euclidiennePrincipe de récurrence

Thèmes

divisibilité, récurrence, critères de divisibilité

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