Exercice 27 Une infinité de nombres premiers de la forme $6k+5$

1. On écrit $p=6k+r$ avec $0\leqslant r\leqslant 5$. Si $r\in\{0\,;2\,;4\}$, alors $p=2\left(3k+\frac{r}{2}\right)$ est pair, donc $p=2$, ce qui est exclu puisque $p\geqslant 5$. Si $r=3$, alors $p=3(2k+1)$ est divisible par $3$, donc $p=3$, exclu également. Il reste $\boxed{r\in\{1\,;5\}}$.

2. On a $(6a+1)(6b+1)=36ab+6a+6b+1=6(6ab+a+b)+1$. Par récurrence sur $r$ : un seul entier de la forme $6k+1$ convient évidemment, et si un produit de $r$ tels entiers s'écrit $6k+1$, alors en le multipliant par un $(r+1)$-ième entier $6b+1$, on obtient, d'après le calcul précédent, un entier de la forme $6k'+1$.

3. Soit $N=6k+5$. Il est impair, car $N=2(3k+2)+1$, et il n'est pas divisible par $3$, car $N=3(2k+1)+2$ et le reste $2$ n'est pas nul. Tous ses facteurs premiers sont donc au moins égaux à $5$, et sont donc de la forme $6j+1$ ou $6j+5$ d'après la question 1. S'ils étaient tous de la forme $6j+1$, leur produit $N$ serait de la forme $6K+1$ d'après la question 2. Mais l'unicité de la division euclidienne par $6$ interdit que $N$ ait à la fois $1$ et $5$ pour reste. Ainsi $\boxed{N \text{ admet un diviseur premier de la forme } 6k+5}$.

4. L'entier $N=6p_{1}\cdots p_{r}-1=6(p_{1}\cdots p_{r}-1)+5$ est de la forme $6k+5$ (avec $k\geqslant 0$ car $p_{1}\cdots p_{r}\geqslant 5$). D'après la question 3, il admet un diviseur premier de la forme $6k+5$, qui est donc l'un des $p_{i}$. Mais alors $p_{i}$ divise $N$ et $6p_{1}\cdots p_{r}$, donc il divise leur différence, qui vaut $1$ : c'est absurde. Il existe donc $\boxed{\text{une infinité de nombres premiers de la forme } 6k+5}$.

La démarche est celle de la Proposition 3 du cours. Elle ne s'adapte pas directement aux nombres premiers de la forme $6k+1$ : un entier de la forme $6k+1$ peut n'avoir que des facteurs premiers de la forme $6k+5$, comme $25=5\times 5$. Le théorème de Dirichlet (1837) affirme plus généralement qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $ak+b$ dès que $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun autre que $\pm 1$.