Exercice 26 Somme des diviseurs

1. D'après l'exercice 16, $\sigma(72)=1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72=\boxed{195}$, et $(1+2+4+8)(1+3+9)=15\times 13=195$. En développant ce produit, on obtient chacun des termes $2^{i}3^{j}$ une et une seule fois, c'est-à-dire chacune des cases du tableau de l'exercice 16.

2. D'après l'exercice 16, les diviseurs de $p^{\alpha}$ sont $1$, $p$, …, $p^{\alpha}$, donc $\sigma(p^{\alpha})=1+p+\dots+p^{\alpha}$. C'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison $p\neq 1$ ; on peut aussi utiliser l'identité démontrée dans l'exercice 25, $(p-1)(1+p+\dots+p^{\alpha})=p^{\alpha+1}-1$. Comme $p-1\neq 0$ : $$\boxed{\sigma(p^{\alpha})=\frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}}$$

3. D'après l'exercice 16, les diviseurs de $p^{\alpha}q^{\beta}$ sont les $p^{i}q^{j}$ avec $0\leqslant i\leqslant\alpha$ et $0\leqslant j\leqslant\beta$, et ils sont deux à deux distincts par unicité de la décomposition. Or en développant : $$(1+p+\dots+p^{\alpha})(1+q+\dots+q^{\beta})=\sum_{i=0}^{\alpha}\sum_{j=0}^{\beta}p^{i}q^{j},$$ on obtient exactement la somme de ces diviseurs, chacun une fois. Donc $\boxed{\sigma(p^{\alpha}q^{\beta})=\sigma(p^{\alpha})\times\sigma(q^{\beta})}$.

4. Comme $360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$ : $$\sigma(360)=(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=15\times 13\times 6=\boxed{1170}.$$

5. Pour $n=1$, $\sigma(1)=1\neq 2$. Pour $n\geqslant 2$, $1$ et $n$ sont deux diviseurs distincts de $n$, donc $\sigma(n)\geqslant n+1$, avec égalité si et seulement si $n$ n'a pas d'autre diviseur, c'est-à-dire si et seulement si $n$ est premier. Ainsi $\boxed{\sigma(n)=n+1 \iff n \text{ est premier}}$.

La fonction $\sigma$ intervient dans la définition des nombres parfaits, étudiés dans l'exercice 41.