Exercice 32

1. On a $n^{2}+1=(n+1)(n-1)+2$. Si $n+1$ divise $n^{2}+1$, comme il divise $(n+1)(n-1)$, il divise la différence $2$ ; réciproquement, s'il divise $2$, il divise la somme $(n+1)(n-1)+2$. Comme $n+1\geqslant 1$, la condition s'écrit $n+1\in\{1\,;2\}$, soit $\boxed{n\in\{0\,;1\}}$.

2. On cherche à faire apparaître un multiple de $n+3$. D'après l'exercice 30 b), $n+3$ divise $n^{3}+3^{3}=n^{3}+27$, et plus précisément $n^{3}+27=(n+3)(n^{2}-3n+9)$. Ainsi : $$n^{3}+3=(n+3)(n^{2}-3n+9)-24.$$ Pour $n=-3$, $n+3=0$ ne divise pas $n^{3}+3=-24\neq 0$. Pour $n\neq -3$, le même raisonnement qu'à la question 1 montre que $n+3$ divise $n^{3}+3$ si et seulement si $n+3$ divise $24$, c'est-à-dire $n+3\in\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24\}$. On obtient les seize valeurs : $$\boxed{n\in\{-27,-15,-11,-9,-7,-6,-5,-4,-2,-1,0,1,3,5,9,21\}}$$

Vérification : pour $n=21$, $n^{3}+3=9264=24\times 386$ ; pour $n=-27$, $n^{3}+3=-19680=(-24)\times 820$.