Exercice 33

Soit $p\geqslant 5$ un nombre premier. Il est impair : $p=2a+1$ avec $a\geqslant 2$. On a : $$p^{2}-1=(p-1)(p+1)=2a(2a+2)=4a(a+1).$$ L'un des deux entiers consécutifs $a$ et $a+1$ est pair, donc $8$ divise $p^{2}-1$ : il existe $b\in\mathbb{N}$ tel que $p^{2}-1=8b$.

Par ailleurs, en écrivant $p=3q+r$ avec $r\in\{0\,;1\,;2\}$, on a $r\neq 0$ car $p$ est premier et différent de $3$. Si $r=1$, $3$ divise $p-1$ ; si $r=2$, alors $p+1=3(q+1)$. Dans les deux cas, $3$ divise $(p-1)(p+1)=8b$. Comme $3$ est premier et ne divise pas $8$, le lemme d'Euclide donne que $3$ divise $b$ : $b=3c$, d'où $p^{2}-1=24c$. Ainsi $\boxed{24 \text{ divise } p^{2}-1}$.

Vérification : $5^{2}-1=24$, $7^{2}-1=48$, $11^{2}-1=120=24\times 5$. Ce résultat renforce celui de l'exercice 17, puisque $p^{2}+11=(p^{2}-1)+12$.