Exercice 37

1. Supposons que $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ dans $\mathbb{N}^{*}$. Alors $p^{2}=3q^{2}$. Comparons l'exposant de $3$ dans les décompositions en facteurs premiers des deux membres : si $3$ apparaît avec l'exposant $a$ dans $p$ et $b$ dans $q$ (éventuellement nuls), il apparaît avec l'exposant $2a$, pair, dans $p^{2}$, et $2b+1$, impair, dans $3q^{2}$. Cela contredit l'unicité de la décomposition. Ainsi $\boxed{\sqrt{3} \text{ est irrationnel}}$.

Généralisation : si $n\in\mathbb{N}^{*}$ n'est pas le carré d'un entier, $\sqrt{n}$ est irrationnel. En effet, si tous les exposants $\alpha_{i}$ de la décomposition de $n$ étaient pairs, on aurait $n=\left(p_{1}^{\alpha_{1}/2}\cdots p_{k}^{\alpha_{k}/2}\right)^{2}$ ; l'un d'eux, $\alpha_{i}$, est donc impair. Si $\sqrt{n}=\frac{p}{q}$, alors $p^{2}=nq^{2}$, et l'exposant de $p_{i}$ est pair à gauche et égal à $\alpha_{i}$ plus un nombre pair, donc impair, à droite : contradiction. Ainsi $\boxed{\sqrt{n}\in\mathbb{Q} \iff n \text{ est un carré parfait}}$.

2. Comme $6=2\times 3$ n'est pas un carré (ses exposants sont impairs), $\boxed{\sqrt{6} \text{ est irrationnel}}$ d'après la question 1. Supposons que $r=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ soit rationnel. Alors $r^{2}=2+2\sqrt{6}+3$, donc $\sqrt{6}=\frac{r^{2}-5}{2}$ serait rationnel, ce qui est faux. Ainsi $\boxed{\sqrt{2}+\sqrt{3} \text{ est irrationnel}}$.

La preuve classique de l'irrationalité de $\sqrt{2}$, vue en Seconde, utilise une fraction irréductible ; celle-ci n'utilise que l'unicité de la décomposition, et s'adapte immédiatement à tout entier qui n'est pas un carré.