Exercice 40

Pour $k\geqslant 1$, on note $N_{k}=1+10^{2}+10^{4}+\dots+10^{2k}$ l'entier qui s'écrit avec $k+1$ chiffres $1$ séparés par des $0$ : $N_{1}=101$, $N_{2}=10101$, etc. D'après l'identité de l'exercice 30 a), appliquée à $100$ et $1$ : $$99\,N_{k}=(100-1)(1+100+\dots+100^{k})=100^{k+1}-1=\left(10^{k+1}-1\right)\left(10^{k+1}+1\right).$$

• Si $k+1=2j$ est pair, alors $10^{k+1}-1=100^{j}-1$ est divisible par $99$ (exercice 30 a)), et $N_{k}=\dfrac{100^{j}-1}{99}\times\left(10^{k+1}+1\right)$, où le premier facteur vaut $1+100+\dots+100^{j-1}$. Pour $j=1$, c'est-à-dire $k=1$, on obtient $N_{1}=101$, qui est premier : il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$, et $11^{2}>101$. Pour $j\geqslant 2$, les deux facteurs sont strictement supérieurs à $1$, donc $N_{k}$ n'est pas premier.

• Si $k+1$ est impair, avec $k+1\geqslant 3$, alors $9$ divise $10^{k+1}-1$ (exercice 28) et $11=10+1$ divise $10^{k+1}+1$ (exercice 30 b)). Ainsi : $$N_{k}=\frac{10^{k+1}-1}{9}\times\frac{10^{k+1}+1}{11},$$ où le premier facteur est l'entier $11\dots1$ à $k+1$ chiffres, au moins égal à $111$, et le second est au moins égal à $\frac{1001}{11}=91$. Donc $N_{k}$ n'est pas premier.

Finalement, $\boxed{101 \text{ est le seul nombre premier de la liste}}$. Vérification : $10101=111\times 91=3\times 7\times 13\times 37$ et $1010101=101\times 10001=73\times 101\times 137$.