Exercice 41 Nombres parfaits

a) Les diviseurs de $6$ autres que $6$ sont $1$, $2$, $3$, et $1+2+3=6$. Ceux de $28=2^{2}\times 7$ sont $1$, $2$, $4$, $7$, $14$, et $1+2+4+7+14=28$. Donc $\boxed{6 \text{ et } 28 \text{ sont parfaits}}$.

b) Comme $2^{1}-1=1$ n'est pas premier, on a $n\geqslant 2$, donc $p=2^{n}-1\geqslant 3$ est un nombre premier impair, distinct de $2$. La décomposition de $N$ est donc $N=2^{n-1}\times p$, et d'après l'exercice 16, ses diviseurs sont les $2^{i}$ et les $2^{i}p$ pour $0\leqslant i\leqslant n-1$. Leur somme vaut : $$(1+2+\dots+2^{n-1})(1+p)=(2^{n}-1)\times 2^{n}=2\times 2^{n-1}(2^{n}-1)=2N,$$ en utilisant $1+2+\dots+2^{n-1}=2^{n}-1$ (exercice 26, question 2). Ainsi $\boxed{N \text{ est parfait}}$.

Pour $n=2$, $3$, $5$ et $7$, on obtient les nombres parfaits $6$, $28$, $496$ et $8128$. Ce résultat figure déjà dans les Éléments d'Euclide (livre IX, proposition 36) ; Euler a démontré au XVIIIe siècle que tout nombre parfait pair est de cette forme. On ignore toujours s'il existe des nombres parfaits impairs.