Les accroissements finis

Entre deux points d'une courbe sans angle, il existe toujours un endroit où la tangente est parallèle à la corde. On déplace les deux points, la page trouve tous ces endroits, et montre ce qui se passe quand la fonction a un seul point anguleux.

On choisit une fonction ($x^3 - 3x$, $x^2$, $\sin x$ ou $|x|$) et deux points $A$ et $B$ de sa courbe, d'abscisses $a < b$. La page trace la corde, calcule sa pente $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, cherche tous les réels $c$ de $]a\,;b[$ où $f'(c)$ est égal à cette pente et y trace la tangente.

Ce que cela signifie : l'égalité des accroissements finis affirme qu'un tel $c$ existe dès que $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et dérivable sur $]a\,;b[$ ; elle ne dit ni où il est ni combien il y en a. Pour $x^3 - 3x$ sur $[-2\,;2]$, la pente est $1$ et il y a deux points, $c = \pm\dfrac{2}{\sqrt3} \approx \pm 1{,}155$. Pour $x^2$, il n'y en a qu'un et c'est toujours le milieu, ce qui est propre aux trinômes. Pour $|x|$ entre $-1$ et $2$, la pente vaut $\dfrac13$ et la dérivée ne prend que les valeurs $-1$ et $1$ : il n'y en a aucun, la fonction n'étant pas dérivable en $0$.

Le piège le plus courant est de prendre $c$ pour le milieu de l'intervalle, ou de le croire unique ; l'autre est d'oublier l'hypothèse de dérivabilité en tout point intérieur.