La pente en un point

On mesure la pente d'une sécante, on rapproche ses deux points, puis on grossit la courbe jusqu'à ne plus voir qu'une droite : le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement, et cette limite n'existe pas toujours.

On place deux points $A$ et $B$ sur la courbe d'une fonction $f$, d'abscisses $a$ et $a+h$, et l'on lit la pente de la sécante $(AB)$, qui est le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. En rapprochant $B$ de $A$, la sécante pivote puis se stabilise, et un tableau montre les taux pour $h = \pm 1$, $\pm 0{,}1$, …, $\pm 0{,}0001$ : pour $f(x)=x^2$ en $a=1$, ils valent $3$, $2{,}1$, $2{,}01$, … à droite et $1$, $1{,}9$, $1{,}99$, … à gauche, et s'approchent tous de $2$.

Ce que cela signifie : le nombre dérivé $f'(a)$ n'est pas une valeur du taux d'accroissement, qui n'est pas défini en $h=0$ ; c'est sa limite quand $h$ tend vers $0$. Une loupe réglable montre la même chose sans calcul : vue d'assez près, la courbe d'une fonction dérivable en $a$ se confond avec sa tangente. En reportant la pente de la tangente au-dessus de chaque abscisse, on voit se dessiner la courbe de la fonction dérivée, que l'on est ensuite invité à tracer soi-même pour quatre courbes données sans formule.

Le piège le plus courant est de croire que cette limite existe toujours. Pour $f(x)=|x|$ en $a=0$, tous les taux à droite valent $1$ et tous les taux à gauche valent $-1$ : il n'y a pas de pente commune, la fonction n'est pas dérivable en $0$, et la courbe garde son coin à toutes les échelles.