Une matrice déforme le plan

Les deux colonnes d'une matrice de taille 2 disent où vont les vecteurs de base : le carré unité devient un parallélogramme, dont l'aire munie d'un signe est le déterminant. On voit le plan s'étirer, se retourner, s'écraser.

La matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ envoie le vecteur $(1\,;0)$ sur sa première colonne et le vecteur $(0\,;1)$ sur la seconde. On règle les quatre coefficients, ou l'on déplace les extrémités des deux colonnes ; la page dessine l'image du carré unité et d'une lettre F, calcule le déterminant $ad - bc$ et, sur demande, trace les directions propres.

Ce que cela signifie : la valeur absolue du déterminant est le facteur par lequel $M$ multiplie les aires, et son signe dit si la figure est retournée. Pour $a = 1{,}5$, $b = c = 0{,}5$, $d = 1$, le déterminant vaut $1{,}25$ et les valeurs propres, racines de $\lambda^2 - 2{,}5\lambda + 1{,}25$, valent environ $0{,}691$ et $1{,}809$. Quand le déterminant est nul, les colonnes sont colinéaires, le plan est écrasé sur une droite et la matrice n'est pas inversible. Le quart de tour n'a aucune direction propre réelle, le cisaillement n'en a qu'une.

Le piège le plus courant est de prendre le déterminant pour une aire sans signe et de lui prêter une linéarité qu'il n'a pas : la matrice identité et son opposée ont pour déterminant $1$, et leur somme, la matrice nulle, a pour déterminant $0$.