Les polynômes de Taylor

Près de $0$, une fonction régulière ressemble à un polynôme, d'autant mieux que le degré monte. Loin de $0$, monter en degré peut tout améliorer, ou tout gâcher ; et une fonction peut même échapper entièrement à ses polynômes de Taylor.

On choisit une fonction parmi $\sin$, $\cos$, $\exp$, $\ln(1 + x)$, $\dfrac{1}{1 - x}$, $\sqrt{1 + x}$ et $x \mapsto \mathrm e^{-1/x^2}$ prolongée par $0$, puis l'ordre $n$, de $0$ à $15$. La page trace la fonction et son polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $0$, écrit ce polynôme, et donne leur écart au point $x$ que l'on déplace.

Ce que cela signifie : la formule de Taylor-Young affirme que l'écart est négligeable devant $x^n$ quand $x$ tend vers $0$, à $n$ fixé. C'est un énoncé local. Pour $\sin$, $\cos$ et $\exp$, l'écart en un point fixé tend aussi vers $0$ quand $n$ grandit ; pour $\ln(1 + x)$ et $\dfrac{1}{1 - x}$, seulement si $-1 < x < 1$ (et en $1$ pour le logarithme). La fonction $\mathrm e^{-1/x^2}$ a toutes ses dérivées nulles en $0$ : ses polynômes de Taylor sont tous nuls, sans qu'elle le soit.

Le piège le plus courant est d'employer un développement limité loin de $0$ en croyant qu'un ordre plus élevé donne une meilleure valeur : pour $\ln(1 + x)$ en $x = 1{,}5$, la valeur exacte est $\ln 2{,}5 \approx 0{,}916$, l'ordre $2$ donne $0{,}375$ et l'ordre $10$ donne environ $-2{,}40$.