Marche aléatoire simple sur ℤᵈ

(i) Un chemin de longueur $l$ issu de $0$ est un mot de longueur $l$ sur l'alphabet des $2d$ directions $\pm e_i$, de probabilité $(2d)^{-l}$ par la formule des chemins (Matrices de transition, (iii)). Il revient en $0$ si et seulement si, pour chaque $i$, il comporte autant de pas $+e_i$ que de pas $-e_i$ ; sa longueur est alors paire.

Pour $d = 1$ et $l = 2n$, il y a $\frac{(2n)!}{n!\,n!}$ tels mots (Coefficients multinomiaux, (i)), d'où $Q^{2n}(0, 0) = c_n$.

Pour $d = 2$, en notant $i$ et $j$ les nombres de pas $+e_1$ et $+e_2$, avec $i + j = n$, $$\begin{aligned} Q^{2n}(0, 0) &= \sum_{i+j=n}\frac{(2n)!}{i!^2\,j!^2\,16^n} \\ &= \frac{(2n)!}{(n!)^2\,16^n}\sum_{i=0}^n\binom ni^2 = c_n^2, \end{aligned}$$ par le point (iii) du même nœud.

Pour $d = 3$, de même, $$\begin{aligned} Q^{2n}(0, 0) &= \sum_{i+j+k=n}\frac{(2n)!}{i!^2\,j!^2\,k!^2\,36^n} \\ &= c_n\sum_{i+j+k=n} t_n(i, j, k)^2, \end{aligned}$$ et $\sum t_n^2 \leqslant M_n\sum t_n = M_n$.

(ii) Irréductibilité. De $x$, on atteint $x \pm e_i$ en un pas, donc tout point de $\mathbb Z^d$ par un chemin. Comme $Q(x + z, y + z) = Q(x, y)$, la formule des chemins donne $Q^n(x, x) = Q^n(0, 0)$ : tous les états sont de même nature, et il suffit d'étudier $0$ par le critère du nœud Récurrence et transience, (ii).

$d = 1$ et $d = 2$. Comme $c_n \leqslant 1$, on a $c_n \geqslant c_n^2 \geqslant \frac1{4n}$ (Coefficients multinomiaux, (ii)). La série harmonique diverge, puisque ses termes d'indices $2^k < n \leqslant 2^{k+1}$ ont une somme au moins égale à $\frac12$ ; donc $\sum_n Q^{2n}(0, 0) = +\infty$.

$d = 3$. Pour $n \geqslant 3$, $c_n \leqslant \frac1{\sqrt{2n + 1}} \leqslant \frac1{\sqrt n}$ et $M_n \leqslant \frac{18}{7n}$, d'où $Q^{2n}(0, 0) \leqslant \frac{18}7\,n^{-3/2}$. Pour $n \geqslant 2$, $$\begin{aligned} &\frac1{\sqrt{n - 1}} - \frac1{\sqrt n} \\ &= \frac{1}{\sqrt n\sqrt{n - 1}\,(\sqrt n + \sqrt{n - 1})} \\ &\geqslant \frac{1}{2n^{3/2}}, \end{aligned}$$ si bien que les sommes partielles de $\sum n^{-3/2}$ sont majorées par $1 + 2$, par télescopage. La série $\sum_n Q^{2n}(0, 0)$ converge.