Exercice 1

Le mot interne porte toute la définition : il faut que le résultat reste dans l'ensemble de départ, et que l'opération y soit définie pour tout couple.

1. La différence de deux entiers naturels peut être négative : $$\boxed{\text{Non : } 3-5=-2 \notin \mathbb{N}.}$$

2. La différence de deux entiers relatifs est un entier relatif : $\boxed{\text{Oui.}}$

3. La loi n'est pas définie partout : $$\boxed{\text{Non : le quotient } \dfrac{x}{0} \text{ n'est pas défini.}}$$

4. Si $x$ et $y$ sont des réels non nuls, $\dfrac{x}{y}$ est un réel non nul : $\boxed{\text{Oui.}}$

5. La demi-somme de deux entiers n'est pas toujours entière : $$\boxed{\text{Non : } 1 \ast 2 = \dfrac{3}{2} \notin \mathbb{Z}.}$$

6. La demi-somme de deux rationnels est un rationnel : $\boxed{\text{Oui.}}$

7. Si $x \geqslant 1$ et $y \geqslant 1$, alors $x^{y} \geqslant 1$ est un entier : $\boxed{\text{Oui.}}$

8. Si $x \geqslant 0$ et $y \geqslant 0$, alors $x+y \geqslant 0$ et $\sqrt{x+y}$ existe et est positif : $\boxed{\text{Oui.}}$

9. La réunion de deux parties de $E$ est une partie de $E$ : $\boxed{\text{Oui.}}$

10. L'ensemble $A \setminus B$ est inclus dans $A$, donc dans $E$ : $\boxed{\text{Oui.}}$

Piège de la question 3 : l'obstacle n'est pas que le résultat sorte de $\mathbb{R}$, mais que la loi ne soit pas définie pour tout couple. Une L.C.I. est une application de $E \times E$ dans $E$ : elle doit exister partout.