Exercice 2

1. L'expression $x+y+xy$ est inchangée quand on échange $x$ et $y$ : la loi est commutative. Pour l'associativité : $$(x \ast y) \ast z = (x+y+xy)+z+(x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz$$

$$x \ast (y \ast z) = x+(y+z+yz)+x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz$$ Ces deux expressions coïncident : $$\boxed{\text{Commutative et associative.}}$$

2. L'expression $\dfrac{x+y}{2}$ est symétrique : la loi est commutative. En revanche, avec $x=0$, $y=0$ et $z=2$ : $$(0 \ast 0) \ast 2 = 0 \ast 2 = 1 \qquad\text{tandis que}\qquad 0 \ast (0 \ast 2) = 0 \ast 1 = \frac{1}{2}$$

3. On a $1 \ast 2 = 1$ et $2 \ast 1 = 2$ : la loi n'est pas commutative. En revanche : $$(x \ast y) \ast z = x \ast z = x \qquad\text{et}\qquad x \ast (y \ast z) = x$$

4. On a $1 \ast 2 = 2$ et $2 \ast 1 = 4$ : la loi n'est pas commutative. De plus : $$(x \ast y) \ast z = \big(x^{2}y\big)^{2}z = x^{4}y^{2}z \qquad\text{et}\qquad x \ast (y \ast z) = x^{2}\big(y^{2}z\big) = x^{2}y^{2}z$$ qui diffèrent pour $x=2$, $y=z=1$ : on obtient $16$ d'un côté et $4$ de l'autre. $$\boxed{\text{Ni commutative, ni associative.}}$$

Les questions 3 et 4 montrent que les deux propriétés sont indépendantes : aucune n'entraîne l'autre.