Exercice 3

1. La loi $x \ast y = x+y-xy$ sur $\mathbb{R}$.

Internité et commutativité. Le résultat est un réel, et l'expression est symétrique en $x$ et $y$.

Associativité. On remarque que $1-x \ast y = 1-x-y+xy = (1-x)(1-y)$, d'où : $$1-(x \ast y) \ast z = \big(1-x \ast y\big)(1-z) = (1-x)(1-y)(1-z)$$ Cette expression étant symétrique en $x$, $y$ et $z$, la loi est associative.

Neutre. On cherche $e$ tel que $x \ast e = x$ pour tout $x$, soit $x+e-xe=x$, c'est-à-dire $e(1-x)=0$ pour tout $x$ : nécessairement $e=0$. On vérifie que $x \ast 0 = 0 \ast x = x$.

Éléments symétrisables. On résout $x \ast y = 0$, soit $x+y-xy=0$, c'est-à-dire $y(1-x)=-x$. Si $x \neq 1$, on obtient $y=\dfrac{x}{x-1}$ ; si $x=1$, alors $1 \ast y = 1+y-y = 1 \neq 0$. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Loi interne, commutative, associative, de neutre } 0. \\[1mm] \text{Les éléments symétrisables sont ceux de } \mathbb{R} \setminus \{1\}, \text{ le symétrique de } x \text{ étant } \dfrac{x}{x-1}. \end{array}}$$

2. La loi $x \ast y = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ sur $\mathbb{R}_{+}$.

Le résultat est un réel positif, et l'expression est symétrique. Pour l'associativité : $$(x \ast y) \ast z = \sqrt{\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)^{2}+z^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = x \ast (y \ast z)$$ Le neutre vérifie $\sqrt{x^{2}+e^{2}}=x$ pour tout $x \geqslant 0$, donc $e=0$. Enfin $x \ast y = 0$ impose $x^{2}+y^{2}=0$, donc $x=y=0$. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Loi interne, commutative, associative, de neutre } 0. \\[1mm] \text{Seul } 0 \text{ est symétrisable.} \end{array}}$$

3. La loi $x \ast y = x+y-3$ sur $\mathbb{Z}$.

Le résultat est un entier relatif, et l'expression est symétrique. Pour l'associativité, les deux calculs donnent $x+y+z-6$. Le neutre vérifie $x+e-3=x$, donc $e=3$. Enfin $x \ast y = 3$ équivaut à $y=6-x$, qui est bien un entier. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Loi interne, commutative, associative, de neutre } 3. \\[1mm] \text{Tout élément } x \text{ est symétrisable, de symétrique } 6-x. \end{array}}$$

Remarque. Les quatre axiomes IANS sont donc satisfaits : $(\mathbb{Z} \,;\ast)$ est un groupe abélien, comme on le vérifiera à l'exercice 7. Ce n'est pas un hasard : l'application $\varphi : x \mapsto x-3$ est une bijection de $\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Z}$ qui vérifie $\varphi(x \ast y)=\varphi(x)+\varphi(y)$. Cette loi n'est donc que l'addition habituelle, déguisée par un changement de nom des éléments — et le neutre $3$ n'a rien de mystérieux : c'est l'ancien $0$.