Exercice 4

1. Le neutre de $(\mathbb{N} \,;\times)$ est $1$. Si $xy=1$ avec $x$ et $y$ entiers naturels, alors $x \geqslant 1$ et $y \geqslant 1$, donc $x=y=1$. $$\boxed{\text{Neutre } 1 \text{ ; seul } 1 \text{ est symétrisable.}}$$

2. Le neutre de $(\mathbb{R} \,;\times)$ est $1$, et $x$ est inversible si et seulement si $x \neq 0$. $$\boxed{\text{Neutre } 1 \text{ ; les éléments symétrisables sont ceux de } \mathbb{R}^{*}.}$$

3. On a $A \cap E = A$ pour toute partie $A$, et $A \cap B = E$ impose $A=B=E$. $$\boxed{\text{Neutre } E \text{ ; seul } E \text{ est symétrisable.}}$$

4. On a $A \cup \varnothing = A$, et $A \cup B = \varnothing$ impose $A=B=\varnothing$. $$\boxed{\text{Neutre } \varnothing \text{ ; seul } \varnothing \text{ est symétrisable.}}$$

5. Le neutre est $\mathrm{Id}_{E}$, d'après la propriété 1 du chapitre 2. Une application $f$ admet un symétrique pour $\circ$ lorsqu'il existe $g$ telle que $f \circ g = g \circ f = \mathrm{Id}_{E}$, c'est-à-dire lorsque $f$ est bijective. $$\boxed{\text{Neutre } \mathrm{Id}_{E} \text{ ; les éléments symétrisables sont les bijections de } E.}$$

6. On a $A \,\Delta\, \varnothing = A$ et $A \,\Delta\, A = \varnothing$, résultats établis au chapitre 1. $$\boxed{\text{Neutre } \varnothing \text{ ; toute partie est symétrisable, et est son propre symétrique.}}$$

Commentaire. La différence symétrique fait donc de $\mathcal{P}(E)$ un groupe abélien, alors que $\cap$ et $\cup$ n'en font pas un : sur les mêmes éléments, changer la loi change tout. Ce groupe a de plus une propriété remarquable — tout élément est son propre symétrique — que l'on exploitera à l'exercice 13.